Bài tập 28, § 1

a) Cho $F \subset M(\Delta)$ là một trường vi phân. Ta nói rằng một trường $F' \supset F$ là một mở rộng sơ cấp của $F$ nếu có một dãy hữu hạn

sao cho với mọi $j \leq n-1$ ta có $F_{j+1} = F_j(t_j)$, trong đó hoặc $t_j' = a_j'/a_j$ với một $a_j \neq 0$ trong $F_j$ (do đó có thể viết $t_j = \log a_j$), hoặc $t_j'/t_j = a_j'$ với một $a_j \in F_j$ (do đó $t_j = \exp(a_j)$). Một hàm sơ cấp là một hàm thuộc một mở rộng sơ cấp của $\mathbf{C}(z)$ (trường các hàm hữu tỉ trên $\mathbf{C}$).

Ví dụ, các hàm

là các hàm sơ cấp.

b) Cho $a \in F$ sao cho có các phần tử $u_j$ ($1 \leq j \leq m$) và $v$ trong một mở rộng sơ cấp $F'$ của $F$, và các hằng số $\gamma_j \in \mathbf{C}$ ($1 \leq j \leq m$) sao cho

Chứng minh rằng khi đó có các phần tử $f_j$ ($1 \leq j \leq p$) và $g$ trong $F$ và các hằng số $\beta_j \in \mathbf{C}$ ($1 \leq j \leq p$) sao cho

(Rút gọn, bằng quy nạp theo độ dài $n$ của dãy (1), về trường hợp $F' = F(t)$. Bằng cách thay thế trước các $u_j$, chứng minh rằng có thể giả sử các $\gamma_j$ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Q}$. Khi $t$ là siêu việt trên $F$, sử dụng Bài tập 27: nếu $t' = s'/s$ với $s \in F$ thì phải có $u_j \in F$ và $c \in F[t]$; bằng cách sử dụng () và lập luận phản chứng, chứng minh rằng phải có $v = \alpha t + b$ với $\alpha \in \mathbf{C}$ và $b \in F$. Nếu $t'/t = r'$ với $r \in F$, chứng minh rằng bằng cách thay thế $v$ bởi $v + k.r$ với một số nguyên thích hợp $k \in \mathbf{Z}$, có thể giả sử rằng $u_j \in F, \ v \in F[t]$; chứng minh bằng phản chứng rằng $v$ có bậc 0, do đó $v \in F$. Cuối cùng, nếu $t$ là đại số trên $F$, nhúng $F'$ vào một mở rộng Galois $K$ của $F$ và xét các ảnh của () bởi nhóm Galois của $K$ trên $F$.)