Exercice 29, § 1

Soient $f$ et $g$ deux fonctions rationnelles de $z$ (éléments de $\mathbf{C}(z)$). Montrer que, pour que la primitive $\int f(z)e^{g(z)}\,dz$ soit une fonction élémentaire (exerc. 28), il faut et il suffit qu’il existe une fonction rationnelle $r \in \mathbf{C}(z)$ telle que $f = r' + rg'$. (Poser $t = e^g$ et considérer le corps différentiel $\mathbf{F} = \mathbf{C}(z, t)$, extension élémentaire de $\mathbf{C}(z)$, puisque $t'/t = g'$. Montrer d’abord que $t$ est transcendant sur $\mathbf{C}(z)$ : en raisonnant par l’absurde, considérer une extension galoisienne $\mathbf{K}$ de $\mathbf{C}(z)$ contenant $t$, et les transformés de l’équation $t'/t = g'$ par le groupe de Galois de $\mathbf{K}$; on obtiendrait une équation $g' = u'/u$ avec $u \in \mathbf{C}(z)$, et il est impossible que $g'$ n’ait que des pôles simples dans $\mathbf{C}$. Appliquant l’exerc. 28, on a $ft = \sum_j \gamma_j \frac{u_j'}{u_j} + v'$, avec $\gamma_j \in \mathbf{C}$, les $u_j$ et $v$ dans $\mathbf{F}$; on peut se ramener au cas où les $\gamma_j$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$. Appliquant ensuite l’exerc. 27 à l’extension $\mathbf{C}(z)(t)$, montrer que l’on a $ft = v' + h$, avec $h \in \mathbf{C}(z)$ et $v \in \mathbf{C}(z)[t]$. En conclure que $v$ est nécessairement de degré 1 en $t$, et par suite que $f$ est égal au coefficient de $t$ dans $v'$.)

En déduire que les primitives $\int e^{z^2}\,dx$ et $\int e^x\,dz/z$ ne sont pas des fonctions élémentaires (théorème de Liouville), en examinant dans la relation $f = r' - rg'$ l’allure des deux membres au voisinage d’un pôle de $r$.*