Bài tập 29, § 1

Cho $f$ và $g$ là hai hàm hữu tỉ của $z$ (các phần tử của $\mathbf{C}(z)$). Chứng minh rằng, để nguyên thủy $\int f(z) e^{g(z)} \, dz$ là một hàm sơ cấp (Bài tập 28), điều kiện cần và đủ là tồn tại một hàm hữu tỉ $r \in \mathbf{C}(z)$ sao cho $f = r' + r g'$. (Đặt $t = e^z$ và xét trường vi phân $F = \mathbf{C}(z, t)$, là một mở rộng sơ cấp của $\mathbf{C}(z)$ vì $t'/t = g'$. Trước hết chứng minh rằng $t$ là siêu việt trên $\mathbf{C}(z)$; bằng cách lập luận phản chứng, xét một mở rộng Galois $K$ của $\mathbf{C}(z)$ chứa $t$, và các biến đổi của phương trình $t'/t = g'$ bởi nhóm Galois của $K$; ta sẽ thu được một phương trình $g' = u'/u$ với $u \in \mathbf{C}(z)$, và không thể xảy ra việc $g'$ có các cực khác ngoài các cực đơn trong $\mathbf{C}$. Áp dụng Bài tập 28 ta có $f t = \sum_j \gamma_j \frac{u_j'}{u_j} + v'$, với $\gamma_j \in \mathbf{C}$, và các $u_j$ và $v$ thuộc $F$; ta có thể rút gọn về trường hợp các $\gamma_j$ độc lập tuyến tính trên $\mathbf{Q}$. Khi đó, áp dụng Bài tập 27 cho mở rộng $\mathbf{C}(z)(t)$, chứng minh rằng ta có $f t = v' + h$, với $h \in \mathbf{C}(z)$ và $v' \in \mathbf{C}(z)[t]$. Kết luận rằng $v$ nhất thiết có bậc 1 theo $t$, và do đó $f$ bằng hệ số của $t$ trong $v'$)

Suy ra từ đó rằng các nguyên thủy $\int e^{-z^2} \, dz$ và $\int e^z \, dz/z$ không phải là các hàm sơ cấp (một định lý của Liouville), bằng cách xét trong quan hệ $f = r' - r g'$ dáng điệu của hai vế tại một lân cận của một cực của $r$.*