Exercice 31, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 30

Si $I_{m,n}$ est une primitive de $\sin^m x \cos^n x$ ( $m$ et $n$ nombres réels quelconques), montrer que, si $m + n + 2 \neq 0$

I_{m+2,n} = -\frac{\sin^{m+1} x \cos^{n+1} x}{m + n + 2} + \frac{m + 1}{m + n + 2} I_{m,n}

est une primitive de $\sin^{m+2} x \cos^n x$ .

Retrouver à l’aide de cette formule la formule (29) de III, p. 10 et démontrer la formule

\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} x \, dx = \frac{2.4.6\ldots2n}{1.3.5\ldots(2n+1)} \quad (n \text{ entier } \geqslant 0).

Solution

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