Bourbaki

Bài tập 31, § 1

Hàm số một biến thực, III

Nếu lm,nl_{m,n} là một nguyên thủy của sin⁡mxcos⁡nx\sin^m x \cos^n x (mm và nn là các số thực tùy ý), hãy chứng minh rằng

Im+2,n=−sin⁡m+1xcos⁡n+1xm+n+2+m+1m+n+2Im,n I_{m+2,n} = -\frac{\sin^{m+1} x \cos^{n+1} x}{m + n + 2} + \frac{m + 1}{m + n + 2} I_{m,n}
là một nguyên thủy của sin⁡m+2xcos⁡nx\sin^{m+2} x \cos^n x nếu m+n+2≠0m + n + 2 \neq 0.

Dùng công thức này hãy tìm lại công thức (29) của III, p. 100 và chứng minh công thức

∫0π/2sin⁡2n+1x dx=2.4.6…2n1.3.5…(2n+1)(n soˆˊ nguyeˆn ⩾0). \int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} x \, dx = \frac{2.4.6 \ldots 2n}{1.3.5 \ldots (2n+1)} \quad (n \text{ số nguyên } \geqslant 0).

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.

Bản dịch máy từ tiếng Anh, bởi gpt-5-6-mini. Chưa được người kiểm tra. Mô hình này là bản rút gọn của mô hình đã viết phần còn lại của ngôn ngữ này.