Exercice 33, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 31

a) Calculer les intégrales

\int_0^1 (1 - x^2)^n \, dx, \qquad \int_0^{+\infty} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}

pour

n

entier

> 0

, à l’aide de l’exerc. 31.

b) Montrer que l’on a

1 - x^2 \leq e^{-x^2} \quad \text{pour } 0 \leq x \leq 1 \\ e^{-x^2} \leq \frac{1}{1 + x^2} \quad \text{pour } x \geq 0.

c) Déduire de a) et b) et de la formule de Wallis (exerc. 32) que

\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Solution

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