Bourbaki

Exercice 35, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 31

Démontrer, par dérivation par rapport au paramètre, et utilisation de l’exerc. 33 c), les formules

∫0+∞e−x2cos⁡αx dx=π2e−α2,∫0+∞1−e−αx2x2 dx=πα, \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \cos \alpha x \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\alpha^2}, \qquad \int_0^{+\infty} \frac{1 - e^{-\alpha x^2}}{x^2} \, dx = \sqrt{\pi \alpha},
∫0+∞exp⁡(−x2−α2x2)dx=π2e−2α(α>0). \int_0^{+\infty} \exp \left( -x^2 - \frac{\alpha^2}{x^2} \right) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-2\alpha} \quad (\alpha > 0).

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.