Bourbaki

Exercice 39, § 1

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 32

Soient mm une fonction convexe dans (0,+∞)(0, +\infty), telle que m(0)=0m(0) = 0, et pp un nombre tel que −1<p<+∞-1 < p < +\infty. Montrer que si l’intégrale ∫0+∞xpexp⁡(−m(x)/x) dx\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x)\ dx est convergente, il en est de même de l’intégrale ∫0+∞xpexp⁡(−m(x)/x) dx\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x)\ dx, et l’on a

∫0+∞xpexp⁡(−m(x)/x) dx≤ep+1∫0+∞xpexp⁡(−md′(x)) dx. \int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x)\ dx \leq e^{p+1} \int_0^{+\infty} x^p \exp(-m'_d(x))\ dx.
(Pour k>1k > 1 et A>0A > 0, remarquer que m(kx)≥m(x)+(k−1)xmd′(x)m(kx) \geq m(x) + (k-1)xm'_d(x), et en déduire l’inégalité
k−p−1∫0kAxpexp⁡(−m(x)/x) dx≤∫0Axpexp⁡(−m(x)kx−k−1kmd′(x)) dx. k^{-p-1} \int_0^{kA} x^p \exp(-m(x)/x)\ dx \leq \int_0^A x^p \exp\left(-\frac{m(x)}{kx} - \frac{k-1}{k} m'_d(x)\right)\ dx.
Majorer la seconde intégrale à l’aide de l’inégalité de Hölder (II, p. 24, exerc. 3) puis faire tendre AA vers +∞+\infty et kk vers 1.)

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.

Transcrit du volume imprimé. Non traduit.