Bài tập 39, § 1

Cho $m$ là một hàm lồi trên $[0, +\infty[$ sao cho $m(0) = 0$, và $p$ là một số sao cho $-1 < p < +\infty$. Chứng minh rằng nguyên $\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m'(x)) dx$ là hội tụ, cũng như nguyên $\int_0^{+\infty} x^p \exp(-m(x)/x) dx$, và rằng

(Với $k > 1$ và $A > 0$ chú ý rằng $m(kx) \geq m(x) + (k - 1)x\ m'_r(x)$, và suy ra bất đẳng thức

Ước lượng nguyên thứ hai nhờ Bất đẳng thức Hölder (III, p. 115, bài tập 3) rồi cho $A$ tiến tới $+\infty$ và $k$ tiến tới 1.)