Exercice 9, § 1

Les notations étant celles de l’exerc. 6, montrer que l’on a

pourvu que l’on ait $\lambda_k \geq 0$ pour tout $k$ et avec $\beta_k \geq 0$ pour tout $k, \beta_1 \leq 1$ et $\beta_{n+1} = 0$ (méthode de l’exerc. 8). En particulier, pour des choix convenables des $\lambda_k$ et $\beta_k$, on a les inégalités et en particulier (inégalité de Carleman) où $\Gamma_n = (G_1 + G_2 + \ldots + G_n)/n$ (amélioration de l’inégalité de Carleman); si la suite $(a_k)$ est croissante;