Bài tập 9, § 1

Hàm số một biến thực, III

Với ký hiệu của Bài tập 6, hãy chứng minh rằng

\mu_1 G_1 + \mu_2 G_2 + \cdots + \mu_n G_n \leq \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_n a_n

với điều kiện $\lambda_k \geq 0$ với mỗi $k$ và

\mu_k = k \left( (\lambda_k \beta_k)^{1/k} - \beta_{k+1}^{1/k} \right) \quad \text{cho } 1 \leq k \leq n

với $\beta_k \geq 0$ với mọi $k$ , $\beta_1 \leq 1$ và $\beta_{n+1} = 0$ (phương pháp của Bài tập 8).

Đặc biệt, với những lựa chọn thích hợp của $\lambda_k$ và $\beta_k$ , ta có

G_1 + G_2 + \cdots + G_n + n G_n \leq 2a_1 + \left( \frac{3}{2} \right)^2 a_2 + \cdots + \left( \frac{n+1}{n} \right)^n a_n

và đặc biệt (bất đẳng thức Carleman)

G_1 + G_2 + \cdots + G_n < e(a_1 + a_2 + \cdots + a_n);

e A_n \geq \Gamma_n e^{G_n / \Gamma_n}

trong đó $\Gamma_n = (G_1 + G_2 + \cdots + G_n)/n$ (sự tăng cường của bất đẳng thức Carleman);

\frac{A_n}{G_n} \geq \frac{1}{2} \left( \frac{\Gamma_n}{G_n} + \frac{G_n}{\Gamma_n} \right)

nếu dãy $(a_k)$ là tăng:

n G_n - m G_m \leq a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n.

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.