Exercice 1, § 2

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 32

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle $n$ fois dérivable dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ . Démontrer la formule

D^n \mathbf{f}(e^x) = \sum_{m=1}^n \frac{a_m}{m!} e^{mx} \mathbf{f}^{(m)}(e^x)

en tout point

x

tel que

e^x \in I

, le coefficient

a_m

ayant pour expression

a_m = \sum_{p=0}^m (-1)^p \binom{m}{p} (m-p)^n

(méthode de I, p. 47, exerc. 7, en utilisant le développement de Taylor de

e^x

Solution

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