Exercice 3, § 2 Fonctions d’une variable réelle, III, p. 32 Pour tout xxx réel >0> 0>0 et tout m=μ+ivm = \mu + ivm=μ+iv complexe, on pose xm=emlogxx^m = e^{m \log x}xm=emlogx; montrer que la formule (19) de III, p. 18, est encore valable pour mmm complexe et x>−1x > -1x>−1, et que le reste rn(x)r_n(x)rn(x) de cette formule satisfait aux inégalités ∣rn(x)∣≤∣(m−1n)mμxn[(1+x)μ−1]∣si μ≠0∣rn(x)∣≤∣(m−1n)mxnlog(1+x)∣si μ=0. |r_n(x)| \leq \left| \binom{m-1}{n} \frac{m}{\mu} x^n [(1+x)^{\mu} - 1] \right| \quad \text{si } \mu \neq 0 \\ |r_n(x)| \leq \left| \binom{m-1}{n} m x^n \log (1+x) \right| \quad \text{si } \mu = 0. ∣rn(x)∣≤(nm−1)μmxn[(1+x)μ−1]si μ=0∣rn(x)∣≤(nm−1)mxnlog(1+x)si μ=0. Généraliser l’étude de la convergence de la série de binôme au cas où mmm est complexe. Solution Aucune solution n’a encore été écrite.