Exercice 4, § 2

Fonctions d’une variable réelle, III, p. 32

Pour tout $x$ réel et tout nombre $p > 1$ démontrer l’inégalité

|1 + x|^p \leq 1 + px + \frac{p(p-1)}{2} x^2 + \cdots + \frac{p(p-1)...(p-m+2)}{(m-1)!} x^{m-1} \\ + \frac{p(p-1)...(p-m+1)}{m!} |x|^m + h_p |x|^p

EXERCICES

où on a posé $m = [\beta]$ (partie entière de $\beta$ ) et

h_p = \frac{\beta(\beta - 1)\ldots(\beta - m + 1)}{(m - 1)!} \int_0^1 z^{p-m}(1 - z)^{m-1} \, dz.

Solution

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