Exercice 5, § 2

Montrer que $\pi$ est irrationnel, de la façon suivante: si on avait $\pi = p/q$ ($p$ et $q$ entiers), en posant $f(x) = (x(\pi - x))^n/n!$ l’intégrale $q^n \int_0^\pi f(x) \sin x \, dx$ serait un entier $> 0$ (utiliser la formule d’intégration par parties d’ordre $n + 1$); mais montrer d’autre part que $q^n \int_0^\pi f(x) \sin x \, dx$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.