Exercice 7, § 2

Soient $p$ un nombre premier, $\mathbf{Q}_p$ le corps des nombres $p$-adiques (TG, III, p. 84, exerc. 23 à 25), $\mathbf{Z}_p$ l’anneau des entiers $p$-adiques, $\mathfrak{p}$ l’idéal principal $(p)$ dans $\mathbf{Z}_p$.

a) Soit $a = 1 + p b$, où $b \in \mathbf{Z}_p$ est un un élément du groupe multiplicatif $1 + \mathfrak{p}$; montrer que lorsque l’entier rationnel $m$ augmente indéfiniment, le nombre $p$-adique $\frac{(1 + p b)^{p^m} - 1}{p^m}$ tend vers une limite égale à la somme de la série convergente

On désignera cette limite par $\log a$.

b) Montrer que, lorsque le nombre $p$-adique $x$ tend vers $0$ dans $\mathbf{Q}_p$, le nombre $\frac{a^x - 1}{x}$ tend vers $\log a$ (utiliser a) et la définition de la topologie de $\mathbf{Q}_p$.

c) Montrer que, si $p \neq 2$, on a $\log a \equiv p b$ (mod. $p^2$), et si $p = 2$, $\log a \equiv 0$ (mod. $p^2$), et $\log a \equiv -4 b^4$ (mod. $p^8$).

d) Montrer que, si $p \neq 2$ (resp. $p = 2$), $x \mapsto \log x$ est un isomorphisme du groupe topologique multiplicatif $1 + \mathfrak{p}$ sur le groupe topologique additif $\mathfrak{p}$ (resp. $\mathfrak{p}^2$); en particulier, si $e_p$ est l’élément de $1 + \mathfrak{p}$ tel que $\log e_p = p$ (resp. $\log e_2 = 4$), l’isomorphisme de $\mathbf{Z}_p$ sur $1 + \mathfrak{p}$, réciproque de $x \mapsto \frac{1}{p} \log x$ (resp. $x \mapsto \frac{1}{4} \log x$) est $y \mapsto e_p^y$ (cf. TG, III, p. 84, exerc. 25).

e) Montrer que pour tout $a \in 1 + \mathfrak{p}$, la fonction continue $x \mapsto a^x$, définie dans $\mathbf{Z}_p$, admet en tout point une dérivée égale à $a^x \log a$; en déduire que la fonction $\log x$ admet en tout point de $1 + \mathfrak{p}$ une dérivée égale à $1/x$.