Bài tập 7, § 2

Cho $p$ là một số nguyên tố và $\mathbf{Q}_p$ là trường các số $p$-adi (Gen. Top., III, p. 322 và 323, Bài tập 23 đến 25), cho $\mathbf{Z}_p$ là vành các số nguyên $p$-adi, và $\mathfrak{p}$ là iđêan chính $(p)$ trong $\mathbf{Z}_p$.

a) Cho $a = 1 + pb$, trong đó $b \in \mathbf{Z}_p$ là một phần tử của nhóm nhân $1 + \mathfrak{p}$; chứng minh rằng khi số nguyên hữu tỉ $m$ tăng vô hạn thì số $p$-adi $\frac{(1 + pb)^{p^m} - 1}{p^m}$ tiến tới một giới hạn bằng tổng của chuỗi hội tụ

Người ta ký hiệu giới hạn này bởi $\log a$.

b) Chứng minh rằng khi số $p$-adi $x$ tiến tới 0 trong $\mathbf{Q}_p$ thì số $\frac{a^x - 1}{x}$ tiến tới $\log a$ (sử dụng $a$) và định nghĩa của tôpô của $\mathbf{Q}_p$.

c) Chứng minh rằng nếu $p \neq 2$ thì có $\log a \equiv pb \pmod{\mathfrak{p}^2}$, và nếu $p = 2$ thì $\log a \equiv 0 \pmod{\mathfrak{p}^2}$, và $\log a \equiv -4b^4 \pmod{\mathfrak{p}^3}$.

d) Chứng minh rằng nếu $p \neq 2$ (resp. $p = 2$) thì $x \mapsto \log x$ là một đẳng cấu của nhóm tôpô nhân $1 + \mathfrak{p}$ lên nhóm tôpô cộng tính $\mathfrak{p}$ (resp. $\mathfrak{p}^2$); đặc biệt, nếu $e_p$ là phần tử của $1 + \mathfrak{p}$ sao cho $\log e_p = p$ (resp. $\log e_2 = 4$) thì đẳng cấu của $\mathbf{Z}_p$ lên $1 + \mathfrak{p}$, nghịch đảo với $x \mapsto \frac{1}{p} \log x$, (resp. $x \mapsto \frac{1}{4} \log x$) là $y \mapsto e_p^y$ (cf. Gen. Top., III, p. 323, Bài tập 25).

e) Chứng minh rằng với mọi $a \in 1 + \mathfrak{p}$ hàm liên tục $x \mapsto a^x$, xác định trên $\mathbf{Z}_p$, nhận một đạo hàm bằng $a^x \log a$ tại mọi điểm; suy ra từ đó rằng hàm $\log x$ nhận một đạo hàm bằng $1/x$ tại mọi điểm của $1 + \mathfrak{p}$.