Exercice 8, § 2

a) Avec les notations de l’exerc. 7, montrer que la série de terme général $x^n/n!$ est convergente pour tout $x \in \mathfrak{p}$ si $p \neq 2$, pour tout $x \in \mathfrak{p}^2$ (mais pour aucun $x \notin \mathfrak{p}^2$) si $p = 2$, pour tout $x \in \mathfrak{p}^2$ (mais pour aucun $x \notin \mathfrak{p}^2$) si $p = 2$ (determiner l’exposant de $p$ dans la décomposition de $n!$ en facteurs premiers). Si $f(x)$ est la somme de cette série, montrer que $f$ est un homomorphisme continu de $\mathfrak{p}$ (resp. $\mathfrak{p}^2$) dans $1 + \mathfrak{p}^2$. En déduire que l’on a, pour tout $z \in \mathbf{Z}_p$, $f(pz) = e_p^z$ (resp. $f(p^2 z) = e_p^{z^2}$), autrement dit, que

(utiliser l’exerc. 7 e)).

b) Pour tout $a \in 1 + \mathfrak{p}$ et tout $x \in \mathbf{Z}_p$, montrer que $\log(a^x) = x \log a$, et déduire de a) et de l’exerc. 7 d) que l’on a

c) Pour tout $m \in \mathbf{Z}_p$, montrer que la fonction continue $x \mapsto x^m$, définie dans $1 + \mathfrak{p}$, admet une dérivée égale à $mx^{m-1}$ (utiliser $b$) et l’exerc. 7 e).

d) Montrer que pour tout $m \in \mathbf{Z}_p$ et tout $x \in \mathfrak{p}$ si $p \neq 2$ ($x \in \mathfrak{p}^2$ si $p = 2$) la série de terme général $\binom{m}{n} x^n$ est convergente et que sa somme est fonction continue de $m$; en déduire que cette somme est égale à $(1 + x)^m$ en remarquant que $\mathbf{Z}$ est partout dense dans $\mathbf{Z}_p$.