Bài tập 8, § 2

a) Với ký hiệu của bài tập 7, hãy chứng minh rằng chuỗi có số hạng tổng quát $x^n / n!$ là hội tụ với mọi $x \in \mathfrak{p}$ nếu $p \neq 2$, với mọi $x \in \mathfrak{p}^2$ (nhưng không với $x \notin \mathfrak{p}^2$ nào) nếu $p = 2$ (xác định số mũ của $p$ trong phân tích của $n!$ thành các thừa số nguyên tố). Nếu $f(x)$ là tổng của chuỗi này, hãy chứng minh rằng $f$ là một đồng cấu liên tục từ $\mathfrak{p}$ (tương ứng $\mathfrak{p}^2$) vào $1 + \mathfrak{p}^2$. Suy ra từ đó rằng với mọi $z \in \mathbf{Z}_p$ ta có $f(pz) = e_p^z$ (tương ứng $f(p^2z) = e_p^{z'}$); nói cách khác,

(dùng bài tập 7 e)).

b) Với mọi $a \in 1 + \mathfrak{p}$ và mọi $x \in \mathbf{Z}_p$, hãy chứng minh rằng $\log(a^x) = x \log a$, và suy ra từ a) và bài tập 7 d) rằng

c) Với mọi $m \in \mathbf{Z}_p$, hãy chứng minh rằng hàm liên tục $x \mapsto x^m$, được xác định trên $1 + \mathfrak{p}$, nhận đạo hàm bằng $mx^{m-1}$ (dùng b) và bài tập 7 e)).

d) Hãy chứng minh rằng với mọi $m \in \mathbf{Z}_p$ và mọi $x \in \mathfrak{p}$ nếu $p \neq 2$ ($x \in \mathfrak{p}^2$ nếu $p = 2$), chuỗi có số hạng tổng quát $\binom{m}{n} x^n$ là hội tụ và tổng của nó là một hàm liên tục của $m$; suy ra từ đó rằng tổng này bằng $(1 + x)^m$ bằng cách nhận xét rằng $\mathbf{Z}$ là trù mật (khắp nơi) trong $\mathbf{Z}_p$.