Exercice 9, § 2

Avec les notations de l’exerc. 7), on désigne par $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ (groupe des rotations de l’espace $\mathbf{Q}_p^2$) le groupe des matrices de la forme

à éléments dans $\mathbf{Q}_p$, tels que $x^2 + y^2 = 1$, ce groupe étant muni de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2.

a) On désigne par $G_n$ le sous-groupe de $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ formé des matrices telles que $t = y/(1 + x) \in \mathfrak{p}^n$. Montrer que $G_n$ est un groupe compact, que $G_n/G_{n+1}$ est isomorphe à $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$, et que les seuls sous-groupes compacts de $G_1$ sont les groupes $G_n$ (cf. TG, III, p. 84, exerc. 24).

b) Montrer que $G_1$ est identique au sous-groupe des matrices

telles que $x^2 + y^2 = 1, x \in 1 + \mathfrak{p}^2$ et $y \in \mathfrak{p}$ si $p \neq 2, x \in 1 + \mathfrak{p}^3$ et $y \in \mathfrak{p}^2$ si $p = 2$.

c) Montrer que les séries de terme général $(-1)^n x^{2n}/(2n)!$ et $(-1)^{n-1} x^{2n+1}/(2n+1)!$ sont convergentes pour tout $x \in \mathfrak{p}$ si $p \neq 2$, pour tout $x \in \mathfrak{p}^2$ si $p = 2$; soient $\cos x$ et $\sin x$ les sommes de ces séries. Montrer que l’application

est un isomorphisme du groupe topologique additif $\mathfrak{p}$ (resp. $\mathfrak{p}^2$) sur le groupe $G_1$.

d) Si $p$ est de la forme $4h + 1$ ($h$ entier), il existe dans $\mathbf{Q}_p$ un élément $i$ tel que $i^2 = -1$. Si à tout $z \in \mathbf{Q}_p^*$ on fait correspondre la matrice

on définit un isomorphisme du groupe multiplicatif $\mathbf{Q}_p^*$ sur le groupe $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$; au groupe $1 + \mathfrak{p}$ correspond par cet isomorphisme le groupe $G_1$, et on a $\cos px + i \sin px = e^{ix}$ (III, p. 33, exerc. 8).

e) Si $p$ est de la forme $4h + 3$ ($h$ entier), les matrices de $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ ont nécessairement leurs éléments entiers $p$-adiques. Le polynôme $X^2 + 1$ est alors irréductible dans $\mathbf{Q}_p$; soit $\mathbf{Q}_p(i)$ l’extension quadratique de $\mathbf{Q}_p$ obtenu par adjonction d’une racine $i$ de $X^2 + 1$; on munit $\mathbf{Q}_p(i)$ de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. Le groupe $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ est isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbf{N}$ des éléments de $\mathbf{Q}_p(i)$ de norme 1, par l’isomorphisme qui à la matrice

fait correspondre l’élément $z = x + iy$. Montrer que, dans $\mathbf{Q}_p(i)$, il existe $p + 1$ racines de l’équation $x^{p+1} = 1$, qui forment un sous-groupe cyclique $R$ de $\mathbf{N}$ (raisonner comme dans TG, III, p. 84, exerc. 24; montrer d’abord qu’il existe, dans $\mathbf{Q}_p(i)$, $p + 1$ racines distinctes de la congruence $x^{p+1} \equiv 1$ (mod $p$) et, pour chaque racine $a$ de cette congruence, former la suite $(a^{p^n})$). En déduire que le groupe $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ est isomorphe au produit des groupes $R$ et $G_1$.

f) Montrer que, pour $p = 2$, le groupe $\mathbf{O}_2^+ (\mathbf{Q}_p)$ est isomorphe au produit du groupe $G_1$ et d’un groupe cyclique d’ordre 4.