Bài tập 9, § 2

Với ký hiệu của Bài tập 7), người ta ký hiệu bởi $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ (nhóm các phép quay của không gian $\mathbf{Q}_p^2$) nhóm các ma trận có dạng

với các phần tử trong $\mathbf{Q}_p$, sao cho $x^2 + y^2 = 1$, nhóm này được trang bị tôpô xác định trong Gen. Top., VIII, p. 125, Bài tập 2.

a) Ký hiệu bởi $G_n$ nhóm con của $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ tạo bởi các ma trận sao cho $t = y/(1 + x) \in \mathfrak{p}^n$. Chứng minh rằng $G_n$ là một nhóm compact, rằng $G_n / G_{n+1}$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$, và rằng các nhóm con compact duy nhất của $G_1$ là các nhóm $G_n$ (xem Gen. Top., III, p. 323, Bài tập 24).

b) Chứng minh rằng $G_1$ trùng với nhóm con các ma trận

sao cho $x^2 + y^2 = 1,\ x \in 1 + \mathfrak{p}^2$ và $y \in \mathfrak{p}$ nếu $p \neq 2$; sao cho $x \in 1 + \mathfrak{p}^3$ và $y \in \mathfrak{p}^2$ nếu $p = 2$.

c) Chứng minh rằng các chuỗi có số hạng tổng quát $(-1)^n x^{2n}/(2n)!$ và $(-1)^n {}^1 x^{2n+1}/(2n+1)!$ hội tụ với mọi $x \in \mathfrak{p}$ nếu $\neq 2$, với mọi $x \in \mathfrak{p}^2$ nếu $p = 2$; gọi $\cos x$ và $\sin x$ là các tổng của các chuỗi này. Chứng minh rằng ánh xạ

là một đẳng cấu của nhóm tôpô cộng tính $\mathfrak{p}$ (tương ứng $\mathfrak{p}^2$) lên nhóm $G_1$.

d) Nếu $p$ có dạng $4h + 1$ ($h$ là một số nguyên), tồn tại trong $\mathbf{Q}_p$ một phần tử $i$ sao cho $i^2 = -1$. Nếu với mỗi $z \in \mathbf{Q}_p^*$ ta gắn với nó ma trận

thì ta xác định một đẳng cấu của nhóm nhân $\mathbf{Q}_p^*$ lên nhóm $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$; theo đẳng cấu này nhóm $1 + \mathfrak{p}$ tương ứng với $G_1$ và ta có $\cos px + i \sin px = e_p^{t'}$ (III, p. 126, Bài tập 8).

e) Nếu $p$ có dạng $4h + 3$ ($h$ là một số nguyên) thì các phần tử của các ma trận của $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ nhất thiết là các số nguyên $p$-adic. Đa thức $X^2 + 1$ khi đó là bất khả quy trong $\mathbf{Q}_p$; gọi $\mathbf{Q}_p(i)$ là mở rộng bậc hai của $\mathbf{Q}_p$ thu được bằng cách ghép thêm một nghiệm $i$ của $X^2 + 1$; trang bị cho $\mathbf{Q}_p(i)$ tôpô được xác định trong Gen. Top., VIII, p. 127, bài tập 2. Nhóm $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ đẳng cấu với nhóm nhân $\mathbf{N}$ gồm các phần tử của $\mathbf{Q}_p(i)$ có chuẩn bằng 1, theo đẳng cấu gắn ma trận $\begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$ với phần tử $z = x + iy$. Chứng minh rằng có $p + 1$ nghiệm của phương trình $x^{p+1} = 1$ trong $\mathbf{Q}_p(i)$ và chúng tạo thành một nhóm con xyclic $\mathbf{R}$ của $\mathbf{N}$ (lập luận như trong Gen. Top., III, p. 323, bài tập 24; sau đó chứng minh rằng có $p + 1$ nghiệm phân biệt của đồng dư thức $x^{p+1} \equiv 1$ (mod. $p$) trong $\mathbf{Q}_p(i)$, và, với mỗi nghiệm $a$ của đồng dư thức này, lập chuỗi $(a^{p^{2n}})$). Suy ra rằng nhóm $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ đẳng cấu với tích của các nhóm $\mathbf{R}$ và $\mathbf{G}_1$.

f) Chứng minh rằng, với $p = 2$, nhóm $\mathbf{O}_2^+(\mathbf{Q}_p)$ đẳng cấu với tích của nhóm $\mathbf{G}_1$ và nhóm xyclic cấp 4.