Note historique

(N.-B. — Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

Comme on l’a vu (Note historique des chap. I-II-III), les problèmes conduisant à l’intégration d’équations différentielles ont été parmi les premiers de ceux qu’ont considérés les fondateurs du Calcul infinitésimal au xvii\textsuperscript{e} siècle (notamment Descartes et Barrow). La théorie des équations différentielles n’a cessé depuis lors d’exercer la sagacité des mathématiciens, et d’être un terrain de prédilection pour l’application des méthodes les plus variées de l’Analyse; les questions qu’elle soulève sont très loin d’être toutes résolues, et l’intérêt qui s’y attache est d’autant plus soutenu qu’elle constitue un des points de contact les plus permanents et les plus fructueux entre les mathématiques et les sciences expérimentales: ces dernières y trouvent souvent une aide précieuse, et en échange lui fournissent constamment de nouveaux problèmes.

Des nombreux chapitres que devrait comporter une étude moderne et complète des équations différentielles, nous n’avons voulu exposer ici que deux des plus élémentaires, traitant des théorèmes d’existence et des équations linéaires, la variable étant supposée réelle. C’est donc aussi à ces deux aspects que nous limiterons notre bref exposé historique. Dès le début du xviii\textsuperscript{e} siècle, les mathématiciens s’étaient convaincus que l’intégrale « générale » d’une équation différentielle d’ordre $n$ dépend de $n$ constantes arbitraires, et qu’« en général », il existe une intégrale et une seule prenant des valeurs données ainsi que ses $n - 1$ premières dérivées pour une valeur donnée $x_0$ de la variable: conviction qu’ils justifiaient par le procédé (remontant à Newton) qui consiste à calculer de proche en proche les coefficients du développement de Taylor de la solution au point $x_0$, à l’aide de l’équation différentielle elle-même et des $n$ premiers coefficients. Mais jusqu’à Cauchy, personne n’avait étudié la convergence de la série ainsi obtenue, ni démontré que sa somme était solution de l’équation différentielle; et bien entendu, il n’était question que d’équations différentielles analytiques. Parmi les diverses méthodes imaginées par Cauchy pour démontrer l’existence des intégrales des équations différentielles, celle que nous avons suivie ((IV) et (IV bis)), généralisée un peu plus tard par Lipschitz, est particulièrement intéressante pour le cas des équations non analytiques et pour l’approximation des intégrales.

Les équations différentielles linéaires ont été parmi les premières à attirer l’attention. Leibniz et Jakob Bernoulli intègrent l’équation linéaire du premier ordre par deux quadratures ((I), t. II, p. 731); l’intégrale générale de l’équation linéaire d’ordre quelconque à coefficients constants et second membre arbitraire est obtenue par Euler ((II), p. 296–354); d’Alembert résout de la même manière les systèmes linéaires à coefficients constants. Un peu plus tard, Lagrange (III) aborde la théorie générale des équations linéaires d’ordre $n$, reconnaît que l’intégrale de l’équation homogène est fonction linéaire des $n$ constantes d’intégration, introduit l’équation adjointe, découvre l’abaissement de l’ordre de l’équation homogène lorsqu’on en connaît des solutions particulières, et la méthode de variation des constantes pour l’intégration de l’équation non homogène. Les points obscurs de la théorie de Lagrange (notamment en ce qui concerne l’indépendance linéaire des intégrales) furent éclaircis par Cauchy, dont l’exposé (IV bis) est resté quasi définitif, aux améliorations de détail près apportées par la notation matricielle et la théorie des diviseurs élémentaires.

(I) Jakob Bernoulli, Opera, 2 vol., Genève (Cramer-Philibert), 1744. (II) L. Euler, Opera Omnia: Institutiones calculi integralis, (1) t. XII, Leipzig-Berlin (Teubner), 1914. (III) J.-L. Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867–1890: a) Solution de différents problèmes de calcul intégral, t. I, p. 471; b) Sur le mouvement des nœuds des orbites planétaires, t. IV, p. 111. (IV) A.-L. Cauchy, Œuvres complètes, (2), t. XI, Paris (Gauthier-Villars), 1913, p. 399 (= Exercices d’Analyse, Paris, 1840, t. I, p. 327). (IV bis) A.-L. Cauchy, in Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral, rédigées principalement d’après les méthodes de M. A.-L. Cauchy, par l’abbé Moigno, t. II, Paris, 1844.