Ghi chú lịch sử

(Xin chú ý. Các chữ số La Mã chỉ Thư mục ở cuối chú ý này.)

Như ta đã thấy (Ghi chú lịch sử cho các Chương I-II-III), các bài toán đã dẫn tới việc lấy tích phân các phương trình vi phân thuộc vào số những bài toán đầu tiên được các nhà sáng lập phép tính vô cùng bé của thế kỷ XVII$^{th}$ xử lý (đặc biệt là Descartes và Barrow). Kể từ đó lý thuyết các phương trình vi phân không ngừng thử thách sự sáng suốt của các nhà toán học, và là một địa hạt được ưa chuộng cho việc áp dụng những phương pháp đa dạng nhất của Giải tích; các vấn đề mà nó gợi ra còn rất xa mới được giải quyết hết, và do đó mối quan tâm gắn với nó bền bỉ đến mức nó tạo thành một trong những điểm tiếp xúc lâu bền và phong phú nhất giữa toán học và các khoa học thực nghiệm: các khoa học sau thường tìm thấy ở đó một sự trợ giúp quý giá, và đổi lại không ngừng cung cấp những bài toán mới.

Trong số rất nhiều chương mà một sự nghiên cứu hiện đại đầy đủ về các phương trình vi phân phải bao quát, ở đây chúng tôi chỉ muốn trình bày hai chương sơ đẳng nhất, bàn về các định lý tồn tại và các phương trình tuyến tính, với giả thiết biến là $real$. Đó là lý do vì sao chúng tôi cũng chỉ giới hạn bản tường thuật lịch sử ngắn gọn của mình vào hai phương diện này. Ngay từ đầu thế kỷ XVIII$^{th}$ các nhà toán học đã tin rằng tích phân “tổng quát” của một phương trình vi phân cấp $n$ phụ thuộc vào $n$ hằng tùy ý, và rằng “nói chung” tồn tại một và chỉ một nghiệm có các giá trị cho hàm và $n - 1$ đạo hàm đầu của nó tại một giá trị đã cho $x_0$ của biến: một niềm tin mà họ biện minh bằng quy trình (có từ Newton) tính từng cái một các hệ số của khai triển Taylor của nghiệm tại điểm $x_0$, nhờ chính phương trình vi phân và $n$ hệ số đầu tiên. Nhưng mãi cho tới Cauchy không ai nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi nhận được như vậy, cũng không chứng minh rằng tổng của nó là một nghiệm của phương trình vi phân; và dĩ nhiên, không hề có vấn đề về các phương trình vi phân không giải tích. Trong số các phương pháp khác nhau do Cauchy đưa ra để chứng minh sự tồn tại của các nghiệm của phương trình vi phân, phương pháp mà chúng tôi đã theo ((IV) và (IV $bis$)), được Lipschitz khái quát hóa ít lâu sau đó, đặc biệt đáng chú ý đối với trường hợp các phương trình không giải tích và việc xấp xỉ các nghiệm.

Các phương trình vi phân tuyến tính thuộc vào số những phương trình đầu tiên thu hút sự chú ý. Leibniz và Jakob Bernoulli đã lấy tích phân phương trình tuyến tính cấp một bằng hai phép cầu phương ((I), v. II, p. 731); nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính tùy ý với các hệ số hằng và vế phải tùy ý đã được Euler thu được ((II), p. 296-354); d’Alembert đã giải các hệ tuyến tính với hệ số hằng theo cùng cách đó. Ít lâu sau, Lagrange (III) đã xử lý lý thuyết tổng quát của các phương trình tuyến tính cấp $n$, nhận ra rằng nghiệm của phương trình thuần nhất là một hàm tuyến tính của $n$ hằng số tích phân, đưa vào phương trình liên hợp, phát hiện sự hạ cấp của phương trình thuần nhất khi người ta biết các nghiệm riêng, và phương pháp biến thiên hằng số để giải phương trình không thuần nhất. Những điểm tối nghĩa trong lý thuyết của Lagrange (đặc biệt về điều liên quan đến tính độc lập tuyến tính của các nghiệm) đã được Cauchy làm sáng tỏ, mà bản trình bày của ông (IV bis) vẫn gần như là dứt khoát, ngoài những cải tiến về chi tiết do ký hiệu ma trận và lý thuyết các ước sơ cấp mang lại.

(I) Jakob Bernoulli, Opera, 2 tập, Genève (Cramer-Philibert), 1744. (II) L. Euler, Opera Omnia: Institutiones calculi integralis, (1)t. XII, Leipzig-Berlin (Teubner), 1914. (III) J.-L. Lagrange, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1867-1890: a) Nghiệm của các bài toán khác nhau của phép tính tích phân, t. I, p. 471; b) Về chuyển động của các nút của các quỹ đạo hành tinh, t. IV, p. 111. (IV) A.-L. Cauchy, Œuvres complètes, (2), t. XI, Paris (Gauthier-Villars), 1913, p. 399 (= Exercices d’Analyse, Paris, 1840, t. I, p. 327). (IV bis) A.-L. Cauchy, trong Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral, rédigées principalement d’après les méthodes de M. A.-L. Cauchy, par l’abbé Moigno, t. II, Paris, 1844.