Chứng minh là ngay lập tức.

Theo mệnh đề 1, $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1) + \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_2)$ (resp. $\lambda \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$) là một nghiệm nguyên của (4) và nhận giá trị $\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ (resp. $\lambda \mathbf{x}_0$) tại $t_0$, nên, theo định lý 1 của IV, p. 179, đồng nhất với $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2)$ (resp. $\mathbf{u}(t, t_0, \lambda \mathbf{x}_0)$); do đó ánh xạ $\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$ là một ánh xạ tuyến tính $C(t, t_0)$ của E vào chính nó, và ta có thể viết $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0) = C(t, t_0). \mathbf{x}_0$.

Vì ánh xạ $(X, Y) \mapsto XY$ của $\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$ vào $\mathscr{L}(E)$ là liên tục (Gen. Top., X, p. 298, prop. 8), ánh xạ $t \mapsto A(t)U$ của J vào $\mathscr{L}(E)$ là điều hòa với mọi $U \in \mathscr{L}(E)$; hơn nữa (Gen. Top., X, p. 296)

nên có thể áp dụng định lý I của IV, p. 179 cho phương trình tuyến tính thuần nhất (5); gọi $V(t)$ là nghiệm nguyên của phương trình này được xác định trên J và bằng $I$ tại $t_0$. Ta có (I, p. 6, prop. 3)

và với $t = t_0$ ta có $V(t)\mathbf{x}_0 = I\mathbf{x}_0 = \mathbf{x}_0$; theo định lý 1 của IV, p. 179, phải có $V(t).\mathbf{x}_0 = C(t, t_0)\mathbf{x}_0$ với mọi $\mathbf{x}_0 \in E$, tức là, $V(t) = C(t, t_0)$; điều này chứng minh rằng $C(t, t_0)$ thuộc $\mathscr{L}(E)$, nói cách khác, rằng $\mathbf{x}_0 \mapsto C(t, t_0).\mathbf{x}_0$ là liên tục trên E, và ánh xạ $t \mapsto C(t, t_0)$ là nghiệm nguyên của (5) bằng $I$ tại $t_0$.

Cuối cùng, nghiệm nguyên $s \mapsto C(s, u).\mathbf{x}_0$ của (4) nhận giá trị $C(t, u).\mathbf{x}_0$ tại điểm $t$, nên, theo định nghĩa,

với mọi $\mathbf{x}_0 \in E$, do đó có hệ thức thứ nhất (6); vì $C(s, s) = I$ nên ta có $C(s, t)C(t, s) = I$, với mọi $s$ và $t$ trong J; điều này chứng minh (Set Theory, II, p. 86, corollary) rằng $C(t, t_0)$ là một ánh xạ song ánh của E lên chính nó, với ánh xạ nghịch đảo là $C(t_0, t)$. Điều này hoàn tất chứng minh định lý.

Người ta gọi $C(t, t_0)$ là resolvent của phương trình (2) của IV, p. 178.

Hiển nhiên đó là một ánh xạ tuyến tính song ánh của E lên $\mathscr{I}$: bây giờ $C(t, t_0)$ bị chặn trên một tập compact $K \subset J$, nên $\| C(t, t_0).\mathbf{x}_0 \| \leq M \| \mathbf{x}_0 \|$ với mọi $t \in K$ và $\mathbf{x}_0 \in E$, điều này cho thấy ánh xạ ấy là liên tục; và vì

nên rõ ràng ánh xạ nghịch đảo cũng liên tục.

Theo (6) ta có $C(s, t) = C(s, t_0) \left( C(t, t_0) \right)^{-1}$; bây giờ, ánh xạ $(X, Y) \mapsto XY$ từ $\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$ vào $\mathscr{L}(E)$ là liên tục, cũng như ánh xạ $X \mapsto X^{-1}$ từ nhóm (mở) các phần tử khả nghịch của $\mathscr{L}(E)$ lên chính nó (TG, IX, p. 40, mệnh đề 14).

Có thể chú ý rằng ánh xạ

có đạo hàm bằng $-(C(t, t_0))^{-1} (dC(t, t_0)/dt)(C(t, t_0))^{-1}$ (trên phần bù của một tập hợp đếm được) (I, p. 8, mệnh đề 4), nghĩa là (theo IV, p. 179, công thức (5)) bằng $-C(t_0, t) A(t)$.

Thật vậy, $\|A(t)x_0\| \leq k \|x_0\|$ với mọi $t \in K$; trên K, hàm hằng bằng $x_0$ do đó là một tích phân gần đúng sai số không vượt quá $k \|x_0\|$ theo phương trình (4) của IV, p. 18; theo công thức (15) của IV, p. 170, do đó ta có

với mọi $t$ và $t_0$ trong K, và mọi $x_0$ trong E, điều này tương đương với bất đẳng thức (7) theo định nghĩa của chuẩn trên $\mathscr{L}(E)$.

Thật vậy, theo (5)

nên $\frac{d}{dt}(BC - CB) = A(BC - CB)$; nhưng $BC(t_0, t_0) - C(t_0, t_0)B = 0$, nên (IV, p. 179, định lý 1) $BC(t, t_0) - C(t, t_0)B = 0$ với mọi $t \in J$.

Một trường hợp quan trọng của mệnh đề 2 là trường hợp E được trang bị cấu trúc không gian vectơ có chuẩn đối với trường số phức $\mathbf{C}$, và trong đó, với mọi $t \in J$, $A(t)$ là một tự đồng cấu của E đối với cấu trúc không gian vectơ này; điều đó có nghĩa là $A(t)$ giao hoán với tự đồng cấu liên tục $x \mapsto tx$ của E (đối với cấu trúc không gian vectơ trên $\mathbf{R}$); khi đó $C(t, t_0)$ giao hoán với tự đồng cấu này, điều đó có nghĩa là với mọi $t$ và $t_0$ trong J, ánh xạ $C(t, t_0)$ là một tự đồng cấu liên tục đối với cấu trúc không gian vectơ có chuẩn của E trên $\mathbf{C}$.

Phương pháp dẫn đến công thức (10), gồm việc lấy hàm $\mathbf{z}$ làm hàm chưa biết mới, thường được gọi là "phương pháp biến thiên hằng số".

Thật vậy, ánh xạ gán cho mỗi $\mathbf{x}_0 \in E$ tích phân $t \mapsto C(t, t_0).\mathbf{x}_0$ là một đẳng cấu từ $E$ lên $\mathscr{I}$ (IV, p. 180, hệ quả 1 và IV, p. 181, mệnh đề 2).

Nếu $(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một cơ sở bất kỳ của $E$ trên $\mathbf{C}$, thì $n$ tích phân

do đó tạo thành một hệ cơ bản; nếu đồng nhất $C(t, t_0)$ với ma trận của nó đối với cơ sở $(\mathbf{e}_j)$ thì các tích phân $\mathbf{u}_j$ chính xác là các cột của ma trận $C(t, t_0)$. Tích phân của (4) nhận giá trị $\mathbf{x}_0 = \sum_{j=1}^n \lambda_j \mathbf{e}_j$ tại điểm $t_0$ khi đó là $C(t, t_0).\mathbf{x}_0 = \sum_{k=1}^n \lambda_k \mathbf{u}_k(t)$.

Cho bất kỳ $n$ tích phân nào $\mathbf{u}_j$ ($1 \leq j \leq n$) của (4), ta gọi định thức của $n$ tích phân này tại một điểm $t \in J$ đối với một cơ sở $(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$ của $E$ là định thức

của $n$ vectơ $\mathbf{u}_j(t)$ đối với cơ sở $(\mathbf{e}_j)$ (Alg., III, p. 522). Ta có (Alg., III, p. 523, mệnh đề 2)

Theo mệnh đề 4 của IV, p. 184, để $(\mathbf{u}_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một hệ cơ bản các tích phân của (4) thì điều kiện cần và đủ là định thức $\Delta(t)$ của các $\mathbf{u}_j$ là $\neq 0$ tại một điểm nào đó $t_0$ của $J$; công thức (14) khi đó cho thấy rằng $\Delta(t) \neq 0$ tại mọi điểm của $J$, nói cách khác, các vectơ $\mathbf{u}_j(t)$ ($1 \leq j \leq n$) luôn luôn độc lập tuyến tính.

Thật vậy, nếu đặt $\delta(t) = \det \left( C(t, t_0) \right)$ thì theo công thức đạo hàm của một định thức (I, p. 8, công thức (3)) ta có

nghĩa là, theo phương trình vi phân (5) của IV, p. 179 mà $C(t, t_0)$ thỏa mãn,

Vì $\delta(t_0) = 1$ nên công thức (15) suy ra từ biểu thức (12) (IV, p. 183) của tích phân của một phương trình tuyến tính vô hướng.

Như ta vừa thấy, việc chỉ rõ $n$ tích phân độc lập tuyến tính của (4) xác định tất cả các tích phân của phương trình này. Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng với $1 \leq p \leq n$, việc biết $p$ tích phân độc lập tuyến tính $\mathbf{u}_j$ ($1 \leq j \leq p$) của phương trình (4) quy việc tích phân phương trình này về việc tích phân một hệ tuyến tính thuần nhất gồm $n - p$ phương trình vô hướng. Giả sử rằng trên một khoảng $K \subset J$ có $n - p$ ánh xạ

từ $K$ vào $E$, là các nguyên hàm của các hàm điều chỉnh trên $K$, và sao cho, với mọi $t \in K$, $n$ vectơ $\mathbf{u}_j(t)$ ($1 \leq j \leq n$) tạo thành một cơ sở của $E$.

Với mọi điểm $t_1 \in J$ luôn tồn tại một khoảng $K$, một lân cận của $t_1$ trong $J$, trên đó xác định được $n - p$ hàm $\mathbf{u}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n - p$) có các tính chất trên. Thật vậy, cho $(\mathbf{e}_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $E$; tồn tại $n - p$ vectơ của cơ sở này cùng với các $\mathbf{u}_j(t_1)$ ($1 \leq j \leq p$) tạo thành một cơ sở của $E$ (Alg., II, p. 292, th. 2); giả sử chẳng hạn đó là $\mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n$; vì định thức $\det(\mathbf{u}_1(t), \ldots, \mathbf{u}_p(t), \mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n)$ (đối với cơ sở $(\mathbf{e}_i)$) là một hàm liên tục của $t$ và không triệt tiêu tại $t = t_1$ nên tồn tại một lân cận $K$ của $t_1$ trên đó nó không triệt tiêu; khi đó có thể lấy $\mathbf{u}_{p+k}(t) = \mathbf{e}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n - p$) với $t \in K$.

Tồn tại một ma trận khả nghịch $B(t)$ cấp $n$, mà các phần tử là những nguyên hàm của các hàm điều chỉnh trên $K$, sao cho $B(t).\mathbf{e}_j = \mathbf{u}_j(t)$ với $1 \leq j \leq n$. Đặt $x = B(t).y$; khi đó $y$ thỏa mãn phương trình $\frac{dB}{dt}.y + B(t).\frac{dy}{dt} = A(t)B(t).y$, phương trình này cũng có thể viết là

trong đó $H(t) = (h_{jk}(t))$ là một ma trận có các phần tử điều chỉnh trên $K$. Theo định nghĩa của $B(t)$ phương trình tuyến tính này nhận $p$ vectơ hằng $\mathbf{e}_j$ ($1 \leq j \leq p$) làm nghiệm; ngay lập tức suy ra rằng tất yếu $h_{jk}(t) = 0$ với $1 \leq k \leq p$; do đó các thành phần $y_k$ của $y$ (đối với cơ sở $(\mathbf{e}_i)$) có chỉ số $k \geq p + 1$ thỏa mãn một hệ tuyến tính thuần nhất gồm $n - p$ phương trình; một khi các nghiệm của hệ này được xác định, thì các $dy_j/dt$ với các chỉ số $j \leq p$ là các hàm tuyến tính của các $y_k$ với $k \geq p + 1$, nên được biết, và các nguyên hàm của các hàm này sẽ cho các $y_j$ với các chỉ số $j \leq p$.

Đặc biệt, khi người ta biết $n - 1$ tích phân độc lập tuyến tính của phương trình (4) của IV, p. 183, thì việc tích phân phương trình này quy về việc tích phân một phương trình vô hướng thuần nhất duy nhất, rồi tính $n$ nguyên hàm.

trong đó $-B(t)$ là chuyển vị của $A(t)$.

Phương trình (16) được gọi là liên hợp của (4); rõ ràng (4) là liên hợp của (16). Vì các phần tử của ma trận $B(t)$ là những hàm bị chặn theo $t$ trên J, các kết quả thu được ở trên về các phương trình tuyến tính áp dụng được cho (16). Đặc biệt, tích phân của (16) nhận giá trị $\mathbf{x}_0^*$ tại điểm $t_0$ có thể viết dưới dạng $H(t, t_0).\mathbf{x}_0^*$, trong đó $H(t, t_0)$ là một ánh xạ tuyến tính song ánh của $\mathrm{E}^*$ lên chính nó, đồng nhất với tích phân của phương trình

nhận giá trị $I$ tại điểm $t_0$. Do đó ta có (với ký hiệu của IV, p. 179)

với mọi $\mathbf{x}_0 \in \mathrm{E}$ và $\mathbf{x}_0^* \in \mathrm{E}^*$, điều này cho thấy

(phản biến của $C(t, t_0)$). Đặc biệt, nếu người ta biết một hệ cơ bản các tích phân của phương trình liên hợp (16) thì ma trận $H(t, t_0)$ được xác định, $C(t, t_0)$ cũng vậy, và do đó, mọi tích phân của phương trình (4) cũng được xác định.