La démonstration est immédiate.

1° Pour tout point $t \in J$, l’application $\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$ est une application linéaire bijective et bicontinue $C(t, t_0)$ de $E$ sur lui-même.

2° L’application $t \mapsto C(t, t_0)$ de $J$ dans $\mathscr{L}(E)$ est identique à l’intégrale de l’équation différentielle linéaire homogène

qui prend la valeur $I$ (application identique de $E$ sur lui-même) au point $t_0$.

3° Quels que soient les points $s, t, u$ de $J$, on a

D’après la prop. 1, $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1) + \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_2)$ (resp. $\lambda \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$) est une intégrale de (4) et prend au point $t_0$ la valeur $\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$ (resp. $\lambda \mathbf{x}_0$), donc, en vertu du th. 1 de IV, p. 17 elle est identique à $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2)$ (resp. $\mathbf{u}(t, t_0, \lambda \mathbf{x}_0)$); l’application $\mathbf{x}_0 \mapsto \mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0)$ est donc une application linéaire $C(t, t_0)$ de $E$ dans lui-même, et on peut écrire $\mathbf{u}(t, t_0, \mathbf{x}_0) = C(t, t_0) \cdot \mathbf{x}_0$.

Comme l’application $(X, Y) \mapsto XY$ de $\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$ dans $\mathscr{L}(E)$ est continue (TG, X, p. 23, prop. 8), l’application $t \mapsto A(t)U$ de $J$ dans $\mathscr{L}(E)$ est réglée pour tout $U \in \mathscr{L}(E)$; on a en outre (TG, X, p. 21)

donc on peut appliquer à l’équation linéaire homogène (5) le th. 1 de IV, p. 17; soit $V(t)$ l’intégrale de cette équation définie dans $J$ et égale à $I$ au point $t_0$. On a (I, p. 14, prop. 3)

et pour $t = t_0$, $V(t_0) \cdot \mathbf{x}_0 = I \cdot \mathbf{x}_0 = \mathbf{x}_0$; d’après le th. 1 de IV, p. 17), on a nécessairement $V(t) \cdot \mathbf{x}_0 = C(t, t_0) \cdot \mathbf{x}_0$ pour tout $\mathbf{x}_0 \in E$, c’est-à-dire $V(t) = C(t, t_0)$; ceci démontre que $C(t, t_0)$ appartient à $\mathscr{L}(E)$, autrement dit, que $\mathbf{x}_0 \mapsto C(t, t_0) \cdot \mathbf{x}_0$ est continue dans $E$, et que l’application $t \mapsto C(t, t_0)$ est l’intégrale de (5) égale à $I$ au point $t_0$.

Enfin, l’intégrale $s \mapsto C(s, u) \cdot \mathbf{x}_0$ de (4) est égale à $C(t, u) \cdot \mathbf{x}_0$ au point $t$, donc on a, par définition

quel que soit $\mathbf{x}_0 \in E$, d’où la première relation (6); comme $C(s, s) = I$, on a $C(s, t)C(t, s) = I$ quels que soient $s$ et $t$ dans $J$; ceci prouve (E, II, p. 18, corollaire) que $C(t, t_0)$ est une application bijective de $E$ sur lui-même, dont l’application réciproque est $C(t_0, t)$. Le théorème est ainsi complètement démontré.

On dit que $C(t, t_0)$ est la résolvante de l’équation (2) de IV, p. 17.

C’est en effet une application linéaire bijective de $E$ sur $\mathscr{I}$; dans un ensemble compact $K \subset J$, $C(t, t_0)$ est bornée, donc on a $\|C(t, t_0) \cdot \mathbf{x}_0\| \leq M \|\mathbf{x}_0\|$ quels que soient $t \in K$ et $\mathbf{x}_0 \in E$, ce qui prouve la continuité de l’application considérée; comme

il est évident que son application réciproque est aussi continue.

En effet, on a, d’après (6), $C(s, t) = C(s, t_0)(C(t, t_0))^{-1}$; or, l’application $(X, Y) \mapsto XY$ de $\mathscr{L}(E) \times \mathscr{L}(E)$ dans $\mathscr{L}(E)$ est continue, et il en est de même de l’application $X \mapsto X^{-1}$ du groupe (ouvert) des éléments inversibles de $\mathscr{L}(E)$ sur lui-même (TG, IX, p. 40, prop. 14).

On notera que l’application

admet (dans le complémentaire d’un ensemble dénombrable) une dérivée égale à $- (C(t, t_0))^{-1} \frac{dC(t, t_0)/dt}{(C(t, t_0))^{-1}}$ (I, p. 16, prop. 4), c’est-à-dire (d’après IV, p. 18, la formule (5)) à $- C(t_0, t)A(t)$.

En effet, on a $\|A(t)x_0\| \leq k\|x_0\|$ pour tout $t \in K$; dans $K$, la fonction constante égale à $x_0$ est donc une intégrale approchée à $k\|x_0\|$ près de l’équation (4) de IV, p. 18; d’après la formule (15) de IV, p. 9, on a donc

quels que soient $t$ et $t_0$ dans $K$, et $x_0$ dans $E$, ce qui équivaut à l’inégalité (7) d’après la définition de la norme dans $\mathscr{L}(E)$.

En effet, on a, d’après (5)

donc $\frac{d}{dt}\,(BC - CB) = A(BC - CB)$; mais $BC(t_0, t_0) - C(t_0, t_0)\,B = 0$, donc (IV, p. 17, th. 1) $BC(t, t_0) - C(t, t_0)\,B = 0$ pour tout $t \in J$.

Un cas particulier important de la prop. 2 est celui où $E$ est muni d’une structure d’espace vectoriel normé par rapport au corps des nombres complexes $\mathbf{C}$, et où, pour tout $t \in J$, $A(t)$ est un endomorphisme de $E$ pour cette structure d’espace vectoriel; cela signifie que $A(t)$ est permutable avec l’endomorphisme continu $x \mapsto ix$ de $E$ (pour la structure d’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$); donc $C(t, t_0)$ est permutable avec cet endomorphisme, ce qui signifie que, quels que soient $t$ et $t_0$ dans $J$, $C(t, t_0)$ est un endomorphisme continu de la structure d’espace vectoriel normé de $E$ sur $\mathbf{C}$.

La méthode qui conduit à la formule (10), et qui consiste à prendre la fonction $\mathbf{z}$ comme nouvelle fonction inconnue, est souvent appelée « méthode de variation des constantes ».

En effet, l’application qui, à tout $\mathbf{x}_0 \in E$, fait correspondre l’intégrale $t \mapsto C(t, t_0) \cdot \mathbf{x}_0$, est un isomorphisme de E sur $\mathscr{I}$ (IV, p. 19, cor. 1 et IV, p. 20, prop. 2).

Si $(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$ est une base quelconque de E sur $\mathbf{C}$, les n intégrales

forment donc un système fondamental; si on identifie $C(t, t_0)$ à sa matrice par rapport à la base $(\mathbf{e}_j)$, les intégrales $\mathbf{u}_j$ ne sont autres que les colonnes de la matrice $C(t, t_0)$. L’intégrale de (4) prenant au point $t_0$ la valeur $\mathbf{x}_0 = \sum_{j=1}^n \lambda_j \mathbf{e}_j$ est alors

Étant données $n$ intégrales quelconques $\mathbf{u}_j$ ($1 \leq j \leq n$) de (4), on appelle déterminant de ces $n$ intégrales en un point $t \in J$, par rapport à une base $(\mathbf{e}_j)_{1 \leq j \leq n}$ de E, le déterminant

des $n$ vecteurs $\mathbf{u}_j(t)$ par rapport à la base $(\mathbf{e}_j)$ (A, III, p. 90). On a (A, III, p. 91, prop. 2)

D’après la prop. 4 de IV, p. 22, pour que $(\mathbf{u}_j)_{1 \leq j \leq n}$ soit un système fondamental d’intégrales de (4), il faut et il suffit que le déterminant $\Delta(t)$ des $\mathbf{u}_j$ soit $\neq 0$ en un point $t_0$ de $J$; la formule (14) montre alors de nouveau que $\Delta(t) \neq 0$ en tout point de $J$, autrement dit que les vecteurs $\mathbf{u}_j(t)$ ($1 \leq j \leq n$) sont toujours linéairement indépendants.

En effet, si on pose $\delta(t) = \det (C(t, t_0))$, on a, d’après la formule donnant la dérivée d’un déterminant (I, p. 8, formule (3))

c’est-à-dire, en vertu de l’équation différentielle (5) de IV, p. 18 à laquelle satisfait $C(t, t_0)$

Comme $\delta(t_0) = 1$, la formule (15) se déduit de l’expression (12) (IV, p. 22) de l’intégrale d’une équation linéaire scalaire.

La donnée de $n$ intégrales linéairement indépendantes de (4) détermine toutes les intégrales de cette équation, comme nous venons de le voir. Nous allons maintenant montrer que pour, $1 \leq p \leq n$, la donnée de $p$ intégrales linéairement indépendantes $\mathbf{u}_j$ ($1 \leq j \leq p$) de l’équation (4) ramène l’intégration de cette équation à celle d’un système linéaire homogène de $n - p$ équations scalaires. Supposons que, dans un intervalle $K \subset J$, il existe $n - p$ applications

de $K$ dans $E$, primitives de fonctions réglées dans $K$, et telles que, pour tout $t \in K$, les $n$ vecteurs $\mathbf{u}_j(t)$ ($1 \leq j \leq n$) forment une base de $E$.

Pour tout point $t_1 \in J$, il existe toujours un intervalle $K$, voisinage de $t_1$ dans $J$, dans lequel sont définies $n - p$ fonctions $\mathbf{u}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n-p$) ayant les propriétés précédentes. En effet, soit $(\mathbf{e}_i)_{1 \leq i \leq n}$ une base de $E$; il existe $n - p$ vecteurs de cette base qui forment avec les $\mathbf{u}_j(t_1)$ ($1 \leq j \leq p$) une base de $E$ (A, II, p. 95, th. 2); supposons par exemple que ce soient $\mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n$; comme le déterminant $\det(\mathbf{u}_1(t), \ldots, \mathbf{u}_p(t), \mathbf{e}_{p+1}, \ldots, \mathbf{e}_n)$ (par rapport à la base $(\mathbf{e}_i)$) est fonction continue de $t$ et n’est pas nul pour $t = t_1$, il existe un voisinage $K$ de $t_1$ dans lequel il n’est pas nul; on peut donc prendre $\mathbf{u}_{p+k}(t) = \mathbf{e}_{p+k}$ ($1 \leq k \leq n-p$) pour $t \in K$.

Il existe une matrice inversible $B(t)$ d’ordre $n$, dont les éléments sont des primitives de fonctions réglées dans $K$, telle que $B(t) \cdot \mathbf{e}_j = \mathbf{u}_j(t)$ pour $1 \leq j \leq n$. Posons $\mathbf{x} = B(t) \cdot \mathbf{y}$; $\mathbf{y}$ satisfait à l’équation

qui s’écrit aussi où $H(t) = (h_{jk}(t))$ est une matrice à coefficients réglés dans $K$. D’après la définition de $B(t)$, cette équation linéaire admet les $p$ vecteurs constants $\mathbf{e}_j$ ($1 \leq j \leq p$) comme intégrales; on en conclut aussitôt qu’on a nécessairement $h_{jk}(t) = 0$ pour $1 \leq k \leq p$; les composantes $y_k$ de $\mathbf{y}$ (par rapport à la base $(\mathbf{e}_i)$) d’indice $k \geq p + 1$ satisfont donc à un système linéaire homogène de $n - p$ équations; une fois déterminées les solutions de ce système, les $dy_j/dt$ d’indice $j \leq p$ sont fonctions linéaires des $y_k$ d’indice $k \geq p + 1$, donc sont connues, et les primitives de ces fonctions donneront les $y_j$ d’indice $j \leq p$.

En particulier, lorsqu’on connaît $n - 1$ intégrales linéairement indépendantes de l’équation (4) de IV, p. 22, l’intégration de cette équation est ramenée à celle d’une seule équation scalaire homogène, et par suite au calcul de $n$ primitives.

où $-B(t)$ est la transposée de $A(t)$.

L’équation (16) est dite adjointe de (4); il est clair qu’inversement (4) est adjointe de (16). Les éléments de la matrice $B(t)$ étant fonctions réglées de $t$ dans $J$, les résultats obtenus ci-dessus sur les équations linéaires sont applicables à l’équation (16). En particulier, l’intégrale de (16) prenant la valeur $x_0^*$ au point $t_0$ peut s’écrire $H(t, t_0) . x_0^*$, où $H(t, t_0)$ est une application linéaire bijective de $E^*$ sur lui-même, identique à l’intégrale de l’équation

qui prend la valeur $I$ au point $t_0$. Il en résulte qu’on a (avec les notations de IV, p. 18)

quels que soient $x_0 \in E$ et $x_0^* \in E^*$, ce qui montre que

(contragrédiente de $C(t, t_0)$). En particulier, si on connaît un système fondamental d’intégrales de l’équation adjointe (16), la matrice $H(t, t_0)$ est déterminée, donc aussi $C(t, t_0)$, et par suite toutes les intégrales de l’équation (4).