Dans toute la suite de ce paragraphe, I désignera un intervalle contenu dans $\mathbf{R}$ et non réduit à un point, H un ensemble ouvert non vide contenu dans l’espace normé E, f une application de $I \times H$ dans E satisfaisant aux conditions du lemme 1.

En effet, d’après le lemme 1, si u est solution de (1) dans I, $f(t, u(t))$ est réglée, donc le second membre de (6) est défini et égal à $u(t)$ pour tout $t \in I$. Réciproquement, si u est une fonction continue satisfaisant à (6), $f(t, u(t))$ est réglée d’après le lemme 1, donc u a pour dérivée $f(t, u(t))$ sauf aux points d’une partie dénombrable de I.

En effet, une telle solution u est primitive de la fonction continue $f(t, u(t))$ (II, p. 16, prop. 3).

On notera d’ailleurs qu’une fonction f continue dans $I \times H$ vérifie les conditions du lemme 1 (TG, X, p. 13, cor. 3).

Dans ce qui suit, nous allons nous donner arbitrairement $t_0 \in I$ et $x_0 \in H$, et chercher s’il existe dans I (ou dans un voisinage de $t_0$ par rapport à I) des solutions de (1) prenant la valeur $x_0$ au point $t_0$ (ou, ce qui revient au même, des solutions de (6)).

Nous allons supposer que $t_0$ n’est pas l’extrémité de $J$, et démontrer la proposition pour les intervalles d’origine $t_0$. Soit $\mathfrak{M}$ l’ensemble des solutions approchées de (1) à $\varepsilon$ près, dont chacune prend ses valeurs dans $S$, est égale à $x_0$ au point $t_0$, et est définie dans un intervalle semi-ouvert $[t_0, b[$ contenu dans $J$ (intervalle dépendant de la solution approchée que l’on considère). Montrons d’abord que $\mathfrak{M}$ n’est pas vide. Soit $c$ la limite à droite de $f(t, x_0)$ au point $t_0$; d’après le lemme 1 (IV, p. 3), la fonction $f(t, x_0 + c(t - t_0))$ a une limite à droite égale à $c$ au point $t_0$, donc la restriction de la fonction $x_0 + c(t - t_0)$ à un intervalle semi-ouvert $[t_0, b[$ assez petit appartient à $\mathfrak{M}$.

Ordonnons l’ensemble $\mathfrak{M}$ par la relation «$u$ est une restriction de $v$», et montrons que $\mathfrak{M}$ est inductif (E, III, p. 20). Soit $(u_\alpha)$ une partie totalement ordonnée de $\mathfrak{M}$, et soit $[t_0, b_\alpha[$ l’intervalle où $u_\alpha$ est définie: pour $b_\alpha \leq b_\beta$, $u_\beta$ est donc un prolongement de $u_\alpha$. La réunion des intervalles $[t_0, b_\alpha[$ est un intervalle $[t_0, b[$ contenu dans $J$, et il existe une fonction et une seule $u$ définie dans $[t_0, b[$ et coïncidant avec $u_\alpha$ dans $[t_0, b_\alpha[$ pour tout $\alpha$; parmi les $b_\alpha$, il existe une suite croissante $(b_{\alpha_n})$ tendant vers $b$; comme $u$ coïncide avec $u_{\alpha_n}$ dans $[t_0, b_{\alpha_n}[$, $u$ admet, en tous les points du complémentaire par rapport à $[t_0, b[$ d’un ensemble dénombrable, une dérivée vérifiant la relation (7), et est donc la borne supérieure de l’ensemble $(u_\alpha)$ dans $\mathfrak{M}$.

D’après le th. de Zorn (E, III, p. 20, th. 2), $\mathfrak{M}$ admet un élément maximal $u_0$; nous allons montrer que si $[t_0, t_1[$ est l’intervalle où est définie $u_0$, ou bien $t_1$ est l’extrémité de $J$, ou bien $t_1 - t_0 \geq r/(M + \varepsilon)$. Raisonnons par l’absurde, en supposant qu’aucune de ces deux hypothèses ne soit vérifiée; montrons d’abord qu’on peut prolonger $u_0$ par continuité au point $t_1$: en effet, quels que soient $s$ et $t$ dans $[t_0, t_1[$, on a

d’après le th. des accroissements finis; le critère de Cauchy montre donc que $u_0$ admet une limite à gauche $x_1 \in S$ au point $t_1$. Soit alors $c_1$ la limite à droite au point $t_1$ de la fonction $f(t, x_1)$; on a $\|c_1\| \leq M$; le même raisonnement qu’au début de la démonstration montre qu’on peut prolonger $u_0$ dans un intervalle semi-ouvert d’origine $t_1$, par la fonction $x_1 + c_1(t - t_1)$, de sorte que la fonction prolongée appartienne encore à $\mathbf{R}$, ce qui est absurde. La proposition est donc démontrée.

Lorsque $f$ est uniformément continue dans $J \times S$, on peut démontrer la prop. 3 sans faire usage du th. de Zorn (IV, p. 37, exerc. 1 a)).

En effet, si $u$ est une fonction quelconque appartenant à cet ensemble, $s$ et $t$ deux points de $K$, on a, d’après le th. des accroissements finis,

En effet, d’après la prop. 3, dès que $n$ est assez grand, il existe une solution approchée $u_n$ de l’équation (1) à $1/n$ près, définie dans $K$, à valeurs dans $S$, et égale à $x_0$ au point $t_0$. En outre, à partir d’une certaine valeur de $n$, $u_n(K)$ est contenu dans une boule fermée de centre $x_0$ et de rayon $< r$, indépendant de $n$. L’ensemble des $u_n$ est équicontinu (prop. 4), et comme $E$ est de dimension finie, $S$ est relativement compacte dans $E$, donc pour tout $t \in K$, l’ensemble des $u_n(t)$ est relativement compact dans $E$. D’après le th. d’Ascoli (TG, X, p. 17, th. 2), l’ensemble des $u_n$ est relativement compact dans l’espace $\mathscr{F}(K; E)$ des applications de $K$ dans $E$, muni de la topologie de la convergence uniforme. Il existe donc une suite $(u_{n_k})$ extraite de $(u_n)$, qui converge uniformément dans $K$ vers une fonction continue $u$. On a $u(K) \subset S$ et par suite $t \mapsto f(t, u(t))$ est définie dans $K$; en vertu du lemme 1 (IV, p. 3), $f(t, u_{n_k}(t))$ converge uniformément vers $f(t, u(t))$ dans $K$; d’après (IV, p. 4, formule (7)), $u_{n_k}$ est primitive d’une fonction qui tend uniformément vers $f(t, u(t))$ dans $K$, donc (II, p. 2, th. 1) $u$ est solution de (1) dans $K$, égale à $x_0$ au point $t_0$.

De la relation $\|u'(t) - f(t, u(t))\| \leq \varepsilon_1$, valable dans le complémentaire d’un ensemble dénombrable, on déduit, par application du th. des accroissements finis

et de même d’où D’après la condition de Lipschitz (8), on a d’où, en posant $w(t) = \|u(t) - v(t)\|$, La proposition est alors conséquence du lemme suivant:

Appliquant le th. des accroissements finis (I, p. 23, th. 2) à cette inégalité, il vient, puisque $z(t_0) = 0$

d’où

et comme $w(t) \leq \varphi(t) + y(t)$, on obtient ainsi (13).

Cette inégalité est en effet une conséquence immédiate de (9) lorsque $t \geq t_0$; pour la démontrer lorsque $t \leq t_0$, il suffit de l’appliquer à l’équation

déduite de (1) par le changement de variable $t = -s$.

On suppose en outre que $\mathbf{g}$ soit lipschitzienne pour la constante $k > 0$ dans $I \times H$. Dans ces conditions, si $\mathbf{u}$ est une solution approchée de $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$ à $\varepsilon_1$ près, définie dans $I$, à valeurs dans $H$, et $\mathbf{v}$ une solution approchée de $\mathbf{x}' = \mathbf{g}(t, \mathbf{x})$ à $\varepsilon_2$ près, définie dans $I$, à valeurs dans $H$, on a, pour tout $t \in I$

En effet, on a, pour tout t dans le complémentaire par rapport à I d’une partie dénombrable de I,

autrement dit, $u$ est solution approchée de $x' = g(t, x)$ à $\alpha + \varepsilon_1$ près, d’où l’inégalité (17) par application de la prop. 5 de IV, p. 7.

En effet, pour tout $\varepsilon > 0$ assez petit, l’ensemble $F_\varepsilon$ des solutions approchées de (1) à $\varepsilon$ près, définies dans K, à valeurs dans S et égales à $x_0$ au point $t_0$, n’est pas vide (IV, p. 5, prop. 3); en outre, si $u$ et $v$ appartiennent à $F_\varepsilon$, on a, d’après (15) (IV, p. 9)

pour tout $t \in K$, donc les ensembles $F_\varepsilon$ forment une base de filtre $\mathscr{G}$ qui converge uniformément dans K vers une fonction continue $w$, égale à $x_0$ au point $t_0$; $w$ prend ses valeurs dans S, parce que, dès que $\varepsilon$ est assez petit, les fonctions $u \in F_\varepsilon$ prennent leurs valeurs dans une boule fermée contenue dans S. Comme $f(t, u(t))$ tend uniformément dans K vers $f(t, w(t))$ suivant $\mathscr{G}$, $w$ satisfait à l’équation (6) de IV, p. 4, donc est solution de (1). L’unicité de la solution découle aussitôt de l’inégalité (15) de IV, p. 9, où on fait $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ et $u(t_0) = v(t_0)$.

Nous dirons qu’une fonction $f$ définie dans $I \times H$ est localement lipschitzienne dans cet ensemble si, pour tout point $(t, x)$ de $I \times H$, il existe un voisinage V de t (par rapport à I) et un voisinage S de x tels que $f$ soit lipschitzienne dans $V \times S$ (pour une constante k dépendant de V et de S). En vertu du th. de Borel-Lebesgue, pour tout intervalle compact $J \subset I$ et tout point $x_0 \in H$, il existe une boule ouverte S de centre $x_0$, contenue dans H, telle que $f$ soit lipschitzienne dans $J \times S$; $f$ satisfait donc aux conditions du lemme 1 de IV, p. 3. Lorsque $f$ est localement lipschitzienne dans $I \times H$, nous dirons que l’équation $x' = f(t, x)$ est localement lipschitzienne dans $I \times H$.

Nous allons généraliser et préciser le th. 1 de IV, p. 10 pour les équations localement lipschitziennes; nous nous bornerons au cas où $t_0$ est l’origine de l’intervalle I; on passe aisément de là au cas où $t_0$ est un point quelconque de I (cf. IV, IV, p. 9, corollaire).

1° Pour tout $x_0 \in H$, il existe un plus grand intervalle $J \subset I$, d’origine $t_0 \in J$, dans lequel il existe une intégrale $u$ de l’équation $x' = f(t, x)$, prenant ses valeurs dans $H$ et égale à $x_0$ au point $t_0$; cette intégrale est unique.

2° Si $J \neq I$, $J$ est un intervalle semi-ouvert $(t_0, \beta[$ de longueur finie ; en outre, pour toute partie compacte $K \subset H$, $\overline{u}^1(K)$ est alors une partie compacte de $\mathbf{R}$.

3° Si $J$ est borné, et si $f(t, u(t))$ est bornée dans $J$, $u(t)$ a une limite à gauche $c$ à l’extrémité de $J$; en outre, si $J \neq I$, $c$ est un point frontière de $H$ dans $E$.

1° Soit $\mathfrak{M}$ l’ensemble des intervalles $L$ (non réduits à un point) d’origine $t_0 \in L$, contenus dans $I$ et tels que, dans $L$, il existe une solution de (1) (IV, p. 2) à valeurs dans $H$ et égale à $x_0$ au point $t_0$; d’après le th. 1 (IV, p. 10), l’ensemble $\mathfrak{M}$ n’est pas vide. Soient $L, L'$ deux intervalles appartenant à $\mathfrak{M}$, et supposons par exemple que $L \subset L'$; si $u$ et $v$ sont deux intégrales de (1), définies respectivement dans $L$ et $L'$, à valeurs dans $H$ et égales à $x_0$ au point $t_0$, nous allons voir que $v$ est un prolongement de $u$. En effet, soit $t_1$ la borne supérieure de l’ensemble des $t \in L$ tels que $u(s) = v(s)$ pour $t_0 \leq s \leq t$; nous allons prouver que $t_1$ est l’extrémité de $L$. Dans le cas contraire, on aurait $u(t_1) = v(t_1)$ par continuité, et $x_1 = u(t_1)$ appartiendrait à $H$; comme $f$ est localement lipschitzienne, le th. 1 prouve qu’il ne peut exister qu’une seule intégrale de (1) définie dans un voisinage de $t_1$, à valeurs dans $H$ et égale à $x_1$ au point $t_1$; il y a donc contradiction à supposer que $t_1$ ne soit pas l’extrémité de $L$. Nous voyons donc que, si $J$ est la réunion des intervalles $L \in \mathfrak{M}$, il existe une intégrale $u$ et une seule de (1), définie dans $J$, à valeurs dans $H$ et égale à $x_0$ au point $t_0$.

2° Supposons $J \neq I$, et soit $\beta$ l’extrémité de $J$; si $\beta$ est l’extrémité de $I$, on a $\beta \in I$ (donc $\beta$ est fini) et $J = (t_0, \beta[$ en vertu de l’hypothèse. Supposons donc que $\beta$ ne soit pas l’extrémité de $I$; si $\beta \in J$, $u(\beta) = c$ appartient à $H$; d’après le th. 1, il existe une intégrale de (1) à valeurs dans $H$, définie dans un intervalle

et égale à $c$ au point $\beta$; $J$ ne serait donc pas le plus grand des intervalles de $\mathfrak{M}$, ce qui est absurde; on a donc bien $J = (t_0, \beta[$.

Si $K$ est une partie compacte de $H$, $\overline{u}^1(K)$ est fermé dans $J$; nous allons voir qu’il existe $\gamma \in J$ tel que $\overline{u}^1(K)$ soit contenu dans $(t_0, \gamma]$, ce qui prouvera que $\overline{u}^1(K)$ est compact. Dans le cas contraire, il existerait un point $c \in K$ tel que $(\beta, c)$ soit adhérent à l’ensemble des points $(t, u(t))$ tels que $t < \beta$ et $u(t) \in K$. Comme $\beta \in I$ et $c \in H$, il existerait un voisinage $V$ de $\beta$ dans $I$ et une boule ouverte $S$ de centre $c$ et de rayon $r$, contenue dans $H$, tels que $f$ soit lipschitzienne et bornée dans $V \times S$; soit $M$ la borne supérieure de $\|f(t, x)\|$ dans cet ensemble. Par hypothèse, il existe $t_1 \in J$ tel que $\beta - t_1 < r/2M, t_1 \in V$ et $\|u(t_1) - c\| \leq r/2$; le th. 1 montre qu’il existe une intégrale et une seule de (1), à valeurs dans $H$, définie dans un intervalle $(t_1, t_2)$ contenant $\beta$, et égale à $u(t_1)$ au point $t_1$; comme cette intégrale coïncide avec $u$ dans l’intervalle $(t_1, \beta]$, $J = (t_0, \beta[$ ne serait pas le plus grand des intervalles de $\mathfrak{M}$, ce qui est absurde.

3° Supposons que $J$ soit borné et que $\|\mathbf{f}(t, u(t))\| \leq M$ dans $J$; on a donc $\|u'(t)\| \leq M$ dans le complémentaire d’une partie dénombrable de $J$; par suite $\|u(s) - u(t)\| \leq M|s - t|$ quels que soient $s$ et $t$ dans $J$, en vertu du th. des accroissements finis; d’après le critère de Cauchy, $u$ a donc une limite à gauche $c$ à l’extrémité $\beta$ de $J$. Si $J \neq I$, $c$ ne peut appartenir à $H$, car en prolongeant $u$ par continuité au point $\beta$, $u$ serait une intégrale de (1) à valeurs dans $H$, définie dans l’intervalle $[t_0, \beta]$ et égale à $x_0$ au point $t_0$; on aurait donc $J = [t_0, \beta[$, contrairement à ce qu’on a vu au 2°.

La première partie est une conséquence immédiate de la troisième partie du th. 2. Si $E$ est de dimension finie, toute boule fermée $S \subset E$ est compacte, donc la seconde partie du th. 2 montre qu’il existe $\gamma \in J$ tel que $u(t) \notin S$ pour $t > \gamma$.

Si $E$ est de dimension infinie, il peut se faire que $J \neq I$, mais que $\|u(t)\|$ reste bornée lorsque $t$ tend vers l’extrémité de $J$ (IV, p. 37, exerc. 5).

En effet, si $\beta \in I$, il existe un voisinage compact $V$ de $\beta$ dans $I$, tel que $\mathbf{f}(t, x_0)$ et $k(t)$ soient bornées dans $V$; on a donc $\|\mathbf{f}(t, x)\| \leq m\|x\| + h$ ($m$ et $h$ constantes) dans $V \times H$, d’où $\|u'(t)\| \leq m\|u(t)\| + h$ dans le complémentaire d’une partie dénombrable de $V \cap J$, et par suite $\|u(t)\| \leq m \int_{t_0}^t \|u(s)\| ds + q$ ($q$ constante) dans $V \cap J$; le lemme 2 (IV, p. 8) montre que $\|u(t)\| \leq c e^{mt} + d$ ($c$ et $d$ constantes) dans $V \cap J$, donc $\mathbf{f}(t, u(t))$ reste bornée dans $J$, et le corollaire résulte alors du th. 2 de IV, p. 11.