1° Với mọi ánh xạ liên tục $u$ từ $I$ vào $H$, hàm $t \mapsto f(t, u(t))$ là được điều chỉnh trên $I$; chính xác hơn, giới hạn phải (tương ứng, trái) của hàm này tại một điểm $t_0 \in I$ bằng giới hạn phải (tương ứng, trái) của hàm $t \mapsto f(t, u(t_0))$ tại điểm $t_0$.

2° Nếu $(u_n)$ là một dãy các ánh xạ từ $I$ vào $H$ hội tụ đều đến một hàm liên tục $u$ từ $I$ vào $H$ trên mọi tập con compact của $I$, thì dãy các hàm $t \mapsto f(t, u_n(t))$ hội tụ đều đến $f(t, u(t))$ trên mọi tập con compact của $I$.

1 Gọi $c$ là giới hạn phải của $f(t, u(t_0))$ tại điểm $t_0$; với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một lân cận compact $V$ của $t_0$ trong $I$ sao cho $\|f(t, u(t_0)) - c\| \leq \varepsilon$ với $t \in V$ và $t > t_0$. Mặt khác, tồn tại $\delta > 0$ sao cho các hệ thức

kéo theo $\|f(s, x) - f(s, u(t_0))\| \leq \varepsilon$ với mọi $s \in V$; nếu $W \subset V$ là một lân cận của $t_0$ trong $I$ sao cho $\|u(t) - u(t_0)\| \leq \delta$ với mọi $t \in W$, thì $\|f(t, u(t)) - c\| \leq 2\varepsilon$ với $t \in W$ và $t > t_0$, điều đó chứng minh rằng $c$ là giới hạn phải của $f(t, u(t))$ tại điểm $t_0$.

2 Cho $K$ là một tập con compact của $I$; vì $u$ liên tục trên $I$, nên $u(K)$ là một tập con compact của $H$; với mọi $\varepsilon > 0$ và $x \in u(K)$ tồn tại một số $\delta_x$ sao cho, với mọi $y \in H, \|y - x\| \leq \delta_x$ và mọi $t \in K$, ta có $\|f(t, y) - f(t, x)\| \leq \varepsilon$. Có một số hữu hạn các điểm $x_i \in u(K)$ sao cho các quả cầu đóng tâm $x_i$ và bán kính $\frac{1}{2}\delta_{x_i}$ tạo thành một phủ của $u(K)$; đặt $\delta = \operatorname{Min}(\delta_{x_i})$. Theo giả thiết tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho với $n \geq n_0$ ta có $\|u_n(t) - u(t)\| \leq \frac{1}{2}\delta$ với mọi $t \in K$. Bây giờ, với mọi $t \in K$ tồn tại một chỉ số $i$ sao cho

do đó ta có $\|u_n(t) - x_i\| \leq \delta_x$, suy ra $\|f(t, u_n(t)) - f(t, u(t))\| \leq 2\varepsilon$ với mọi $t \in K$ và mọi $n \geq n_0$

Trong phần còn lại của tiết diện này, tôi sẽ ký hiệu bởi $I$ một khoảng được chứa trong $\mathbf{R}$, không thu về một điểm duy nhất, bởi $H$ một tập hợp mở khác rỗng được chứa trong không gian định chuẩn $E$, và bởi $f$ một ánh xạ từ $I \times H$ vào $E$ thỏa mãn các giả thiết của bổ đề 1.

Thật vậy, theo bổ đề 1, nếu $u$ là một nghiệm của (1) trên $I$, thì $f(t, u(t))$ là điều hòa, nên vế phải của (6) được xác định và bằng $u(t)$ với mọi $t \in I$. Ngược lại, nếu $u$ là một hàm liên tục thỏa mãn (6) thì $f(t, u(t))$ là điều hòa, theo bổ đề 1, nên $u$ có đạo hàm bằng $f(t, u(t))$ trừ tại các điểm của một tập con đếm được của $I$.

Thật vậy, một nghiệm như vậy $u$ là một nguyên thủy của hàm liên tục $f(t, u(t))$ (II, p. 66, mệnh đề 3).

Hơn nữa, ta chú ý rằng một hàm liên tục $f$ trên $I \times H$ thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1 (Gen. Top., X, p. 286, hệ quả 3).

Trong phần tiếp theo ta sẽ chọn tùy ý $t_0 \in I$ và $x_0 \in H$ và khảo sát xem có tồn tại các nghiệm của (1) trên $I$ (hoặc trên một lân cận của $t_0$ trong $I$) nhận giá trị $x_0$ tại điểm $t_0$ hay không (hay, điều này cũng tương đương, các nghiệm của (6)).

Giả sử rằng $t_0$ không phải là đầu mút phải của J, và chứng minh mệnh đề đối với các khoảng có đầu mút trái là $t_0$. Ký hiệu $\mathscr{M}$ là tập hợp các nghiệm của (1) sai số không vượt quá $\varepsilon$, mỗi nghiệm đều nhận giá trị trong S, bằng $x_0$ tại $t_0$, và được xác định trên một khoảng nửa mở $[t_0, b[$ được chứa trong J (khoảng này phụ thuộc vào nghiệm xấp xỉ đang xét). Trước hết ta chứng minh rằng $\mathscr{M}$ không rỗng. Cho c là giới hạn bên phải của $f(t, x_0)$ tại $t_0$; theo bổ đề 1 (IV, p. 165), hàm $f(t, x_0 + c(t - t_0))$ có giới hạn bên phải bằng c tại $t_0$, do đó hạn chế của hàm $x_0 + c(t - t_0)$ lên một khoảng nửa mở đủ nhỏ $[t_0, b[$ sẽ thuộc $\mathscr{M}$.

Ta sắp thứ tự tập hợp $\mathscr{M}$ theo quan hệ "u là một hạn chế của v", và chứng minh rằng $\mathscr{M}$ là quy nạp (Lý thuyết Tập hợp, III, p. 154). Cho $(u_\alpha)$ là một tập con được sắp thứ tự toàn phần của $\mathscr{M}$ và $[t_0, b_\alpha[$ là khoảng trên đó $u_\alpha$ được xác định: nếu $b_\alpha \leq b_\beta$ thì hàm $u_\beta$ do đó là một mở rộng của $u_\alpha$. Hợp của các khoảng $[t_0, b_\alpha[$ là một khoảng $[t_0, b[$ được chứa trong J, và tồn tại một và chỉ một hàm u xác định trên $[t_0, b[$ trùng với $u_\alpha$ trên $[t_0, b_\alpha[$ với mỗi $\alpha$; trong các $b_\alpha$ có một dãy tăng $(b_{\alpha_n})$ tiến tới b; vì u trùng với $u_{\alpha_n}$ trên $[t_0, b_{\alpha_n}[$, hàm u có một đạo hàm thỏa mãn (7) tại mọi điểm của phần bù của một tập con đếm được của $[t_0, b[$, và do đó là cận trên đúng của tập $(u_\alpha)$ trong $\mathscr{M}$.

Theo bổ đề Zorn (Lý thuyết Tập hợp, III, p. 154, đl. 2), $\mathscr{M}$ có một phần tử cực đại $u_0$; ta sẽ chứng minh rằng nếu $[t_0, t_1[$ là khoảng trên đó $u_0$ được xác định, thì hoặc $t_1$ là đầu mút phải của J, hoặc $t_1 - t_0 \geq r/(M + \varepsilon)$. Ta lập luận phản chứng, giả sử rằng không điều kiện nào trong hai điều kiện này được thỏa mãn; trước hết ta chứng minh rằng có thể mở rộng $u_0$ bằng tính liên tục tại điểm $t_1$; thật vậy, với mọi s và t trong $[t_0, t_1[$,

theo định lý giá trị trung bình; tiêu chuẩn Cauchy cho thấy $u_0$ có một giới hạn trái $x_1 \in S$ tại điểm $t_1$. Bây giờ gọi $c_1$ là giới hạn phải tại $t_1$ của hàm $f(t, x_1)$; ta có $\|c_1\| \leq M$; cùng lập luận như ở đầu chứng minh cho thấy có thể mở rộng $u_0$ sang một khoảng nửa mở có đầu mút trái là $t_1$ bằng hàm $x_1 + c_1(t - t_1)$, sao cho hàm được mở rộng thuộc $\mathscr{M}$, điều này là vô lý. Điều đó chứng minh mệnh đề.

Khi f liên tục đều trên $J \times S$ thì có thể chứng minh mđ. 3 mà không dùng bổ đề Zorn (IV, p. 199, bt. 1a)).

Thật vậy, nếu u là một hàm bất kỳ trong tập hợp này và s và t là hai điểm của K, thì theo định lý giá trị trung bình

Thật vậy, theo mệnh đề 3, một khi $n$ đủ lớn thì tồn tại một nghiệm gần đúng $u_n$ của (1) chính xác đến $1/n$, được xác định trên $K$, nhận giá trị trong $S$, và bằng $x_0$ tại $t_0$. Hơn nữa, kể từ một giá trị nào đó của $n$ trở đi, $u_n(K)$ được chứa trong một quả cầu đóng có tâm $x_0$ và bán kính $< r$, không phụ thuộc vào $n$. Họ các $u_n$ là đồng liên tục (mệnh đề 4), và vì $E$ là hữu hạn chiều nên tập $S$ là compact tương đối trong $E$; do đó với mọi $t \in K$ tập các $u_n(t)$ là compact tương đối trong $E$. Theo định lý Ascoli (Gen. Top., X, p. 290, định lý 2), họ các $u_n$ là compact tương đối trong không gian $\mathscr{F}(K; E)$ các ánh xạ từ $K$ vào $E$ được trang bị chuẩn đều. Vì thế tồn tại một dãy trích từ $(u_{n_k})$ của $(u_n)$ hội tụ đều trên $K$ tới một hàm liên tục $u$. Ta có $u(K) \subset S$, nên $t \mapsto f(t, u(t))$ được xác định trên $K$; theo bổ đề 1 (IV, p. 165), $f(t, u_{n_k}(t))$ hội tụ đều tới $f(t, u(t))$ trên $K$; theo (IV, p. 4, công thức (7)), $u_{n_k}$ là một nguyên hàm của một hàm hội tụ đều tới $f(t, u(t))$ trên $K$, nên (II, p. 52, định lý 1) $u$ là một nghiệm của (1) trên $K$, và bằng $x_0$ tại điểm $t_0$.

trong đó

Từ quan hệ $\|u'(t) - f(t, u(t))\| \leq \varepsilon_1$, đúng trên phần bù của một tập đếm được, theo định lý giá trị trung bình suy ra rằng

và tương tự

do đó

Theo điều kiện Lipschitz (8) ta có

do đó, đặt $w(t) = \|u(t) - v(t)\|$,

Mệnh đề do đó là một hệ quả của bổ đề sau:

(12)

trong đó $\varphi$ là một hàm điều chỉnh $\geq 0$ trên $[t_0, t_1]$, thì, với $t_0 \leq t \leq t_1$,

(13)

Đặt $y(t) = \int_{t_0}^t k(s) w(s) \, ds$; quan hệ (12) kéo theo rằng

(14)

trên phần bù của một tập đếm được.

Đặt $z(t) = y(t) \exp \left( - \int_{t_0}^t k(s) \, ds \right)$; khi đó (14) tương đương với

Khi áp dụng định lý giá trị trung bình (I, p. 15, định lý 2) cho bất đẳng thức này, và nhận thấy rằng $z(t_0) = 0$, ta thu được

do đó

và vì $w(t) \leq \varphi(t) + y(t)$ nên do đó ta thu được (13).

(15)

Bất đẳng thức này thực ra là một hệ quả ngay lập tức của (9) khi $t \geq t_0$; để chứng minh nó với $t \leq t_0$ chỉ cần áp dụng nó cho phương trình

thu được từ (1) bằng phép thay đổi biến $t = -s$.

Giả sử thêm rằng $\mathbf{g}$ là Lipschitz với hằng $k > 0$ trên $I \times H$. Trong những điều kiện đó, nếu $\mathbf{u}$ là một nghiệm xấp xỉ của $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$ với sai số không vượt quá $\varepsilon_1$, xác định trên $I$, nhận giá trị trong $H$, và $\mathbf{v}$ là một nghiệm xấp xỉ của $\mathbf{x}' = \mathbf{g}(t, \mathbf{x})$ với sai số không vượt quá $\varepsilon_2$, xác định trên $I$, nhận giá trị trong $H$, thì, với mọi $t \in I$

(17)

Thật vậy

với mọi $t$ thuộc phần bù trong $I$ của một tập con đếm được của $I$; nói cách khác, $\mathbf{u}$ là một nghiệm gần đúng của $\mathbf{x}' = \mathbf{g}(t, \mathbf{x})$ sai khác không quá $\alpha + \varepsilon_1$, nên bất đẳng thức (17) suy ra bằng cách áp dụng mệnh đề 5 của IV, p. 169.

Thật vậy, với $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, tập $F_\varepsilon$ các nghiệm gần đúng của (1) sai khác không quá $\varepsilon$, được xác định trên K, nhận giá trị trong S, và bằng $\mathbf{x}_0$ tại điểm $t_0$, là khác rỗng (IV, p. 166, mệnh đề 3); hơn nữa, nếu $\mathbf{u}$ và $\mathbf{v}$ thuộc $F_\varepsilon$ thì, theo (15) (IV. p. 170)

với mọi $t \in K$, nên các tập hợp $F_\varepsilon$ tạo thành một cơ sở lọc $\mathscr{G}$ hội tụ đều trên $K$ tới một hàm liên tục $w$, bằng $x_0$ tại $t_0$; hơn nữa $w$ nhận giá trị trong $S$, vì, với $\varepsilon$ đủ nhỏ, các hàm $u \in F_\varepsilon$ nhận giá trị trong một quả cầu đóng được chứa trong $S$. Vì $f(t, u(t))$ hội tụ đều trên $K$ tới $f(t, w(t))$ theo $\mathscr{G}$, $w$ thỏa mãn phương trình (6) của IV, p. 165, nên là một nghiệm của (1). Tính duy nhất của nghiệm suy ra ngay lập tức từ bất đẳng thức (15) của IV, p. 170 khi lấy $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 0$ và $u(t_0) = v(t_0)$.

Ta sẽ nói rằng một hàm $f$ xác định trên $I \times H$ là Lipschitz địa phương nếu, với mọi điểm $(t, x)$ của $I \times H$, tồn tại một lân cận $V$ của $t$ (đối với $I$) và một lân cận $S$ của $x$ sao cho $f$ là Lipschitz trên $V \times S$ (với một hằng số $k$ phụ thuộc vào $V$ và $S$). Theo định lý Borel-Lebesgue, với mọi đoạn compact $J \subset I$ và mọi điểm $x_0 \in H$ tồn tại một quả cầu mở $S$ có tâm $x_0$, được chứa trong $H$, sao cho $f$ là Lipschitz trên $J \times S$; do đó $f$ thỏa mãn các giả thiết của bổ đề 1 của IV, p. 3. Khi $f$ là Lipschitz địa phương trên $I \times H$ ta sẽ nói rằng phương trình $x' = f(t, x)$ là Lipschitz địa phương trên $I \times H$.

Ta sẽ tổng quát hóa và làm sáng tỏ đl. 1 của IV, p. 10 đối với các phương trình Lipschitz địa phương; ta chỉ xét trường hợp $t_0$ là đầu mút trái của khoảng $I$; người ta dễ dàng chuyển sang trường hợp $t_0$ là một điểm tùy ý của $I$ (x. IV, §IV ??, p. 9, hệ quả).

$1^\circ$ Với $x_0 \in H$ tồn tại một khoảng lớn nhất $J \subset I$, có đầu mút trái là $t_0 \in J$, trên đó tồn tại một nghiệm $u$ của phương trình $x' = f(t, x)$ nhận giá trị trong $H$ và bằng $x_0$ tại điểm $t_0$; nghiệm này là duy nhất.

$2^\circ$ Nếu $J \neq I$ thì $J$ là một khoảng nửa mở $[t_0, \beta[$ có độ dài hữu hạn; hơn nữa, với mọi tập con compact $K \subset H$, tập $\overline{u}(K)$ là một tập con compact của $\mathbf{R}$.

$3^\circ$ Nếu $J$ bị chặn, và nếu $f(t, u(t))$ bị chặn trên $J$, thì $u(t)$ có một giới hạn trái $c$ tại đầu mút phải của $J$; hơn nữa, nếu $J \neq I$ thì $c$ là một điểm biên của $H$ trong $E$.

$1^\circ$ Gọi $\mathfrak{M}$ là tập hợp các khoảng $L$ (không thu về một điểm duy nhất) có đầu mút trái $t_0 \in L$, được chứa trong $I$, và sao cho trên $L$ có một nghiệm của (1) (IV, p. 163) nhận giá trị trong $H$ và bằng $x_0$ tại $t_0$; theo đl. 1 (IV, p. 171), tập hợp $\mathfrak{M}$ là không rỗng. Cho $L$ và $L'$ là hai khoảng thuộc $\mathfrak{M}$, và giả sử, chẳng hạn, rằng $L \subset L'$; nếu $u$ và $v$ là hai nghiệm của (1) được xác định tương ứng trên $L$ và $L'$, nhận giá trị trong $H$, và bằng $x_0$ tại $t_0$, thì ta sẽ thấy rằng $v$ là một mở rộng của $u$. Thật vậy, gọi $t_1$ là cận trên đúng của tập hợp các $t \in L$ sao cho $u(s) = v(s)$ với $t_0 \leq s \leq t$; ta sẽ chứng minh rằng $t_1$ là đầu mút phải của $L$. Nếu không phải như vậy, ta sẽ có $u(t_1) = v(t_1)$ theo tính liên tục, và $x_1 = u(t_1)$ sẽ thuộc $H$; vì $f$ địa phương Lipschitz, đl. 1 cho thấy chỉ có thể tồn tại một nghiệm duy nhất của (1) được xác định trên một lân cận của $t_1$, nhận giá trị trong $H$ và bằng $x_1$ tại $t_1$; do đó mâu thuẫn nếu giả sử rằng $t_1$ không phải là đầu mút phải của $L$. Bây giờ ta thấy rằng nếu $J$ là hợp của các khoảng $L \in \mathfrak{M}$ thì tồn tại một và chỉ một nghiệm $u$ của (1), được xác định trên $J$, nhận giá trị trong $H$ và bằng $x_0$ tại $t_0$.

2) Giả sử rằng J ≠ I và gọi β là đầu mút phải của J; nếu β là đầu mút phải của I thì β ∈ I (do đó β là hữu hạn) và J = [t_0, β[ theo giả thiết. Vậy giả sử rằng β không phải là đầu mút phải của I; nếu β ∈ J thì u(β) = c thuộc H; theo đl. 1 tồn tại một nghiệm của (1) nhận giá trị trong H, được xác định trên một khoảng

và bằng c tại β; khi đó J sẽ không phải là lớn nhất trong các khoảng của $\mathfrak{M}$, điều đó là vô lý; do đó J = [t_0, β[.

Nếu K là một tập con compact của H thì $\bar{u}^{-1}(K)$ đóng trong J; ta sẽ thấy rằng tồn tại một γ ∈ J sao cho $\bar{u}^{-1}(K)$ được chứa trong [t_0, γ ], điều đó sẽ chứng minh rằng $\bar{u}^{-1}(K)$ là compact. Nếu không, sẽ tồn tại một điểm c ∈ K sao cho (β, c) là một điểm tụ của tập các điểm (t, u(t)) sao cho t < β và u(t) ∈ K. Vì β ∈ I và c ∈ H nên tồn tại một lân cận V của β trong I, và một quả cầu mở S tâm c bán kính r chứa trong H, sao cho f là Lipschitz và bị chặn trên V × S; gọi M là cận trên đúng của $\|f(t, x)\|$ trên tập này. Theo giả thiết, tồn tại một t_1 ∈ J sao cho $\beta - t_1 < r/2M$, $t_1 \in V$ và $\|u(t_1) - c\| \leq r/2$; đ.l. 1 cho thấy rằng tồn tại một và chỉ một nghiệm của (1), nhận giá trị trong H, xác định trên một khoảng [t_1, t_2] chứa β, và bằng u(t_1) tại t_1; vì nghiệm này trùng với u trên khoảng [t_1, β[ nên suy ra J = [t_0, β[ không phải là khoảng lớn nhất trong $\mathfrak{M}$, điều này vô lý.

3 Giả sử rằng J bị chặn và $\|f(t, u(t))\| \leq M$ trên J; khi đó $\|u'(t)\| \leq M$ trên phần bù của một tập con đếm được của J; do đó, theo định lý giá trị trung bình, $\|u(s) - u(t)\| \leq M |s - t|$ với mọi s và t trong J; theo tiêu chuẩn Cauchy, u có giới hạn bên trái c tại đầu mút phải β của J. Nếu J ≠ I thì c không thể thuộc H, vì khi kéo dài u bằng tính liên tục tại β, u sẽ là một nghiệm của (1) nhận giá trị trong H, xác định trên một khoảng [t_0, β] và bằng x_0 tại t_0; khi đó sẽ có J = [t_0, β], trái với điều ta đã thấy ở 2 .