Exercice 10, § 1

Soit f une fonction numérique continue et bornée définie dans le pavé P : |t − t_0| < a, |x − x_0| < b de R^2. Soit M la borne supérieure de |f(t, x)| dans P, et I = ]t_0 − α, t_0 + α[, où α = inf (a, b/M). Montrer que l’enveloppe supérieure et l’enveloppe inférieure de l’ensemble Φ des intégrales de x' = f(t, x) définies dans I et prenant la valeur x_0 au point t_0, sont encore des intégrales de x' = f(t, x), qu’on appelle respectivement intégrale maximale et intégrale minimale de cette équation, correspondant au point (t_0, x_0) (remarquer que l’ensemble Φ est équicontinu et fermé pour la topologie de la convergence uniforme dans I).

Pour tout τ ∈ I, soit ξ la valeur de l’intégrale minimale (correspondant à (t_0, x_0)) au point τ. Montrer que l’intégrale minimale correspondant au point (τ, ξ) est identique à l’intégrale minimale correspondant au point (t_0, x_0) dans un intervalle de la forme (τ, τ + h[ si τ > t_0, de la forme] τ − h, τ) si τ < t_0.

En déduire qu’il existe un plus grand intervalle ouvert ]t_1, t_2[ contenant t_0 et contenu dans ]t_0 − a, t_0 + a[, tel que l’intégrale minimale u correspondant au point (t_0, x_0) puisse être prolongée par continuité à ]t_1, t_2[ de sorte qu’en tout point t de ]t_1, t_2[, u (t) appartienne à ]x_0 − b, x_0 + b[ et que u soit identique à l’intégrale minimale correspondant au point (t, u(t)) dans un intervalle de la forme {t, t + h[ si t > t_0, de la forme] t − h, t} si t < t_0; montrer en outre qu’on a, soit t_1 = t_0 − a (resp. t_2 = t_0 + a) soit lim_{t→t_1} u(t) = x_0 ± b (resp. lim_{t→t_2} u(t) = x_0 ± b).