Bài tập 10, § 1

Cho $f$ là một hàm thực liên tục bị chặn được xác định trên hình hộp $P : |t - t_0| < a, |x - x_0| < b$ của $\mathbf{R}^2$. Gọi M là cận trên đúng của $|f(t, x)|$ trên P, và gọi $I = ]t_0 - \alpha, t_0 + \alpha[$, trong đó $\alpha = \inf(a, b/M)$. Chứng minh rằng các bao trên và bao dưới của tập hợp $\Phi$ các nguyên của $x' = f(t, x)$ được xác định trên I và nhận giá trị $x_0$ tại điểm $t_0$, lại là các nguyên của $x' = f(t, x)$, mà người ta gọi là nguyên cực đại và cực tiểu của phương trình này tương ứng với điểm $(t_0, x_0)$ (nhận xét rằng tập hợp $\Phi$ là đồng liên tục và đóng đối với tôpô hội tụ đều trên I).

Với mọi $\tau \in I$, gọi $\xi$ là giá trị của nguyên cực tiểu (tương ứng với $(t_0, x_0)$) tại điểm $\tau$. Chứng minh rằng nguyên cực tiểu tương ứng với điểm $(\tau, \xi)$ trùng với nguyên cực tiểu tương ứng với điểm $(t_0, x_0)$ trên một khoảng có dạng $[\tau, \tau + h[$ nếu $\tau > t_0$, và có dạng $]\tau - h, \tau]$ nếu $\tau < t_0$.

Suy ra từ điều này rằng tồn tại một khoảng mở lớn nhất $]t_1, t_2[$ chứa $t_0$ và được chứa trong $]t_0 - a, t_0 + a[$, sao cho nguyên cực tiểu $u$ tương ứng với $(t_0, x_0)$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục tới $]t_1, t_2[$, sao cho tại mọi điểm $t$ của $]t_1, t_2[$, giá trị $u(t)$ thuộc $]x_0 - b, x_0 + b[$, và rằng $u$ trùng với nguyên cực tiểu tương ứng với điểm $(t, u(t))$ trên một khoảng có dạng $[t, t + h[$ nếu $t > t_0$ và có dạng $]t - h, t]$ nếu $t < t_0$; chứng minh thêm rằng hoặc là $t_1 = t_0 - a$ (tương ứng. $t_2 = t_0 + a$) hoặc là $\lim_{t \to t_1^-} u(t) = x_0 \pm b$ (tương ứng. $\lim_{t \to t_2^+} u(t) = x_0 \pm b$).