Exercice 11, § 1

a) Dans le pavé P : |t − t_0| < a, |x − x_0| < b, soient g et h deux fonctions numériques continues telles que g(t, x) < h(t, x) dans P. Soit u (resp. v) une intégrale de x' = g(t, x) (resp. x' = h(t, x)) telle que u(t_0) = x_0 (resp. v(t_0) = x_0) définie dans un intervalle (t_0, t_0 + ε]; montrer que, pour t_0 < t < t_0 + ε, on a u(t) < v(t) (considérer la borne supérieure τ des t pour lesquels cette inégalité a lieu). b) Soit u l’intégrale maximale de x' = g(t, x) correspondant au point (t_0, x_0) (exerc. 10), définie dans un intervalle (t_0, t_0 + ε[, à valeurs dans |x − x_0| < b. Montrer que, dans tout intervalle compact (t_0, t_0 + d] contenu dans (t_0, t_0 + ε[, l’intégrale minimale et l’intégrale maximale de l’équation x' = g(t, x) + ε correspondant au point (t_0, x_0) sont définies dès que ε > 0 est assez petit, et convergent uniformément vers u lorsque ε tend vers 0 par valeurs > 0. c) Soient g et h deux fonctions numériques définies et continues dans P et telles que g(t, x) ≤ h(t, x) dans P. Soit (t_0, t_0 + ε[ un intervalle dans lequel sont définies une intégrale u de x' = g(t, x) telle que u(t_0) = x_0, et l’intégrale maximale v de x' = h(t, x) correspondant au point (t_0, x_0). Montrer que, dans cet intervalle, on a u(t) ≤ v(t) (se ramener au cas a) à l’aide de b)).