Bài tập 11, § 1

a) Trên hình hộp P : $|t - t_0| < a,\ |x - x_0| < b$ cho g và h là hai hàm thực liên tục sao cho $g(t, x) < h(t, x)$ trên P. Cho u (tương ứng v) là một nguyên của $x' = g(t, x)$ (tương ứng $x' = h(t, x)$) sao cho $u(t_0) = x_0$ (tương ứng $v(t_0) = x_0$) được xác định trên một khoảng $[t_0, t_0 + c[$; hãy chứng minh rằng với $t_0 < t < t_0 + c$ ta có $u(t) < v(t)$ (xét cận trên đúng $\tau$ của các t mà bất đẳng thức này đúng).

b) Cho u là nguyên cực đại của $x' = g(t, x)$ tương ứng với điểm $(t_0, x_0)$ (Bài tập 10), được xác định trên một khoảng $[t_0, t_0 + c[$, với các giá trị trong $|x - x_0| < b$. Hãy chứng minh rằng trong mọi khoảng compact $[t_0, t_0 + d]$ được chứa trong $[t_0, t_0 + c[$, các nguyên cực tiểu và cực đại của phương trình $x' = g(t, x) + \varepsilon$ tương ứng với điểm $(t_0, x_0)$ được xác định một khi $\varepsilon > 0$ đủ nhỏ, và hội tụ đều về u khi $\varepsilon$ tiến tới 0 qua các giá trị > 0.

c) Cho g và h là hai hàm thực liên tục được xác định trên P và sao cho $g(t, x) \leq h(t, x)$ trên P. Cho $[t_0, t_0 + c[$ là một khoảng trên đó được xác định một nguyên u của $x' = g(t, x)$ sao cho $u(t_0) = x_0$, và nguyên cực đại v của $x' = h(t, x)$ tương ứng với điểm $(t_0, x_0)$. Hãy chứng minh rằng $u(t) \leq v(t)$ trên khoảng này (quy về trường hợp a) bằng cách sử dụng b)).