Exercice 12, § 1

Fonctions d’une variable réelle, IV, p. 39

Soit u l’intégrale de l’équation x' = λ + \frac{x^2}{1 + t^2}, égale à 0 pour t = 0, et soit J le plus grand intervalle d’origine 0 dans lequel u est continue. a) Montrer que, si λ ≤ \frac{1}{4}, on a J = (0, +∞[ (utiliser l’exerc. 4 de IV, p. 37).

b) Montrer que, si $\lambda > \frac{1}{4}$ , on a $J = (0, a[$ , avec

\operatorname{sh} \frac{\pi}{2 \sqrt{\lambda}} < a < \operatorname{sh} \frac{\pi}{\sqrt{4\lambda - 1}}

(poser

x = y \sqrt{1 + t^2}

, et utiliser l’exerc. 11).

Solution

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