Exercice 16, § 1

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f$ une fonction bornée dans $I \times H$ et satisfaisant aux conditions de IV, p. 3, lemme 1, telle que l’équation $x' = f(t, x)$ admette une seule solution $u$ définie dans $I$, à valeurs dans $H$, égale à $x_0$ au point $t_0$. On suppose en outre que, pour tout entier $n$ assez grand, il existe une intégrale approchée $u_n$ de $x' = f(t, x)$ à $1/n$ près, définie dans $I$, à valeurs dans $H$, et égale à $x_0$ au point $t_0$. Montrer que la

EXERCICES FVR IV.41

suite $(\mathbf{u}_n)$ converge uniformément vers $\mathbf{u}$ dans tout intervalle compact contenu dans $I$ (utiliser le fait que la suite $(\mathbf{u}_n)$ est équicontinue dans $I$).