Bài tập 16, § 1

Cho E là một không gian vectơ số chiều hữu hạn, và $f$ là một hàm bị chặn trên $I \times \mathbf{H}$ thỏa mãn các điều kiện của IV, p. 165, bổ đề 1, sao cho phương trình $x' = f(t, x)$ có một nghiệm duy nhất $u$ xác định trên $I$, với các giá trị trong $\mathbf{H}$, bằng $x_0$ tại điểm $t_0$. Giả sử thêm rằng với $n$ đủ lớn tồn tại một nguyên gần đúng $u_n$ của $x' = f(t, x)$ với sai số không quá $1/n$, xác định trên $I$, với các giá trị trong $\mathbf{H}$, bằng $x_0$ tại điểm $t_0$. Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ hội tụ đều về $u$ trên mọi khoảng compact được chứa trong $I$ (sử dụng sự kiện rằng dãy $(u_n)$ là liên tục đều đồng bậc trên $I$).