Exercice 17, § 1

Pour étudier l’équation $x' = \sin tx$ (IV, p. 12, Exemple 4). on pose $u = xy$, et on considère les solutions de l’équation correspondante $u' = \frac{u}{t} + t \sin u = F(t, u)$ qui sont > 0 pour $t > 0$ (pour toute solution de cette nature, on a $u(0) = 0$). On désigne par $\Gamma_k$ la courbe définie par les relations $(2k - 1)\pi < u < 2k\pi, t \sin u + \frac{u}{t} = 0$ pour chaque entier $k \geq 1$, par $D_k$ l’ouvert défini par $(2k - 1)\pi < u < 2k\pi, \ t \sin u + \frac{u}{t} < 0$, par $E$ le complémentaire dans l’ensemble des $(t, u)$ tels que $t > 0$ et $u > 0$, de la réunion des $\overline{D}_k$. a) Montrer que toute courbe intégrale qui coupe une droite $u = 2k\pi$ coupe aussi la droite $u = (2k + 1)\pi$. b) Si une courbe intégrale $C$ coupe une courbe $\Gamma_k$ en un point $(t_0, u_0)$, la fonction $u$ est croissante pour $0 < t < t_0$, décroissante pour $t > t_0$, et lorsque $t$ tend vers $+\infty$, $u(t)$ tend vers $(2k - 1)\pi$, la courbe $C$ restant dans $D_k$ pour $t > t_0$. c) Montrer qu’il n’y a aucune courbe intégrale $C$ contenue dans $E$ et telle que $u(t)$ tende vers $+\infty$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. (Former l’équation différentielle $dx/du = G(u, x)$ entre $x$ et $u$ le long de $C$. Si $C$ est tout entière dans $E$, on a $x^2 > u$ pour $u = (2k - \frac{1}{2})\pi$; majorer d’autre part $x^2(u)$ en utilisant l’équation différentielle précédente, et obtenir une contradiction.) d) Montrer que pour chaque entier $k$, il existe une courbe intégrale et une seule $C$ contenue dans $E$ et telle que $u(t)$ tende vers $2k\pi$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. (En posant $v = 2k\pi - u$, on a une équation $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + t \sin v$; comparer cette équation à $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + tv$, $t$ tendant vers $+\infty$ et $v$ vers 0.)