Bài tập 17, § 1

Để nghiên cứu phương trình $x' = \sin t x$ (IV, p. 174, Ví dụ 4), ta đặt $u = xy$ và xét các nghiệm của phương trình tương ứng $u' = \frac{u}{t} + t \sin u = F(t, u)$ là $> 0$ với $t > 0$ (ta có $u(0) = 0$ đối với mọi nghiệm loại này). Ký hiệu $\Gamma_k$ là đường cong được xác định bởi các hệ thức $(2k-1)\pi < u < 2k\pi, t \sin u + \frac{u}{t} = 0$ với mỗi số nguyên $k \geq 1$; ký hiệu $D_k$ là tập mở được xác định bởi $(2k-1)\pi < u < 2k\pi, t \sin u + \frac{u}{t} < 0$; và ký hiệu $E$ là phần bù của hợp của các $\overline{D}_k$ trong tập hợp các $(t, u)$ sao cho $t > 0$ và $u > 0$.

a) Chứng minh rằng mọi đường cong nguyên nào cắt một đường thẳng $u = 2k\pi$ cũng cắt đường thẳng $u = (2k+1)\pi$.

b) Nếu một đường cong nguyên $C$ cắt một đường cong $\Gamma_k$ tại một điểm $(t_0, u_0)$, thì hàm $u$ tăng đối với $0 < t < t_0$, giảm đối với $t > t_0$, và khi $t$ tiến tới $+\infty$, $u(t)$ tiến tới $(2k-1)\pi$, đường cong $C$ vẫn nằm trong $D_k$ đối với $t > t_0$.

c) Chứng minh rằng không tồn tại đường cong nguyên $C$ được chứa trong $E$ và sao cho $u(t)$ tiến tới $+\infty$ khi $t$ tiến tới $+\infty$. (Lập phương trình vi phân $dx/du = G(u, x)$ giữa $x$ và $u$ dọc theo $C$. Nếu $C$ hoàn toàn nằm trong $E$, thì $x^2 > u$ với $u = (2k-\frac{1}{2})\pi$; mặt khác, hãy ước lượng $x^2(u)$ bằng cách sử dụng phương trình vi phân trên, và thu được một mâu thuẫn.)

d) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ tồn tại một và chỉ một đường cong nguyên $C$ được chứa trong $E$ và sao cho $u(t)$ tiến tới $2k\pi$ khi $t$ tiến tới $+\infty$. (Bằng cách đặt $v = 2k\pi - u$ ta thu được phương trình $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + t \sin v$; so sánh phương trình này với $v' = \frac{v - 2k\pi}{t} + t v$ khi $t$ tiến tới $+\infty$ và $v$ tiến tới 0.)