Exercice 18, § 1

Soit $E$ l’espace des suites $x = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ de nombres réels telles que $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, muni de la norme $\|x\| = \sup_n |x_n|$, qui en fait un espace normé complet. Pour tout $x = (x_n) \in E$, soit $y = f(x)$ l’élément $(y_n)$ de $E$ défini par $y_n = |x_n|^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{n + 1}$; la fonction $f$ est continue dans $E$. Montrer qu’il n’existe aucune solution de l’équation différentielle $x' = f(x)$ définie dans un voisinage de 0 dans $\mathbf{R}$, à valeurs dans $E$ et égale à 0 pour $t = 0$ (cf. IV, p. 39, exerc. 11).