Bài tập 18, § 1

Cho E là không gian của các dãy $\mathbf{x} = (x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các số thực sao cho $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, được trang bị chuẩn $\| \mathbf{x} \| = \sup_n |x_n|$, mà thực tế là một không gian định chuẩn đầy đủ. Với mỗi $\mathbf{x} = (x_n) \in E$ hãy cho $y = f(\mathbf{x})$ là phần tử $(y_n)$ của E được xác định bởi $y_n = |x_n|^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{n+1}$; hàm $f$ là liên tục trên E. Chứng minh rằng không có nghiệm của phương trình vi phân $\mathbf{x}' = f(\mathbf{x})$ được xác định trên một lân cận của 0 trong $\mathbf{R}$, với các giá trị trong E, và bằng 0 tại điểm $t = 0$ (xem IV, p. 202, bài tập 11).