Exercice 3, § 1

Soient $S \subset H$ une boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $r$, $f$ une fonction lipschitzienne pour la constante $k > 0$ dans $I \times S$; on suppose en outre que $t \mapsto f(t, x_0)$ est bornée dans $I$ et on désigne par $M_0$ la borne supérieure de $\|f(t, x_0)\|$ pour $t \in I$. Montrer que pour tout $t_0 \in I$, il existe une intégrale $u$ de $x' = f(t, x)$, à valeurs dans $S$, égale à $x_0$ au point $t_0$, et définie dans l’intersection de $I$ et de l’intervalle $]t_0 - \lambda, t_0 + \lambda[$, où

(remarquer que l’on a $\|u(t) - x_0\| \leq M(t - t_0) + k \int_{t_0}^t \|u(s) - x_0\| ds$ pour $t > t_0$).