Bài tập 3, § 1

Cho $S \subset H$ là một quả cầu mở có tâm $x_0$ và bán kính $r$, và $f$ là một hàm Lipschitz với hằng $k > 0$ trên $I \times S$; giả sử thêm rằng $t \mapsto f(t, x_0)$ bị chặn trên $I$, và ký hiệu $M_0$ là cận trên đúng của $\|f(t, x_0)\|$ với $t \in I$. Chứng minh rằng với mọi $t_0 \in I$ tồn tại một nguyên hàm $u$ của $x' = f(t, x)$, có các giá trị trong $S$, bằng $x_0$ tại điểm $t_0$ và được xác định trên giao của $I$ và khoảng $]t_0 - \lambda, t_0 + \lambda[$, trong đó

(chú ý rằng ta có $\|u(t) - x_0\| \leq M(t - t_0) + k \int_{t_0}^t \|u(s) - x_0\| \, ds$ với $t > t_0$).