Exercice 6, § 1

a) Soit $I = (0, +\infty[$; si $f$ est lipschitzienne dans $I \times E$ pour une fonction réglée $k(t) > 0$ telle que l’intégrale $\int_0^{+\infty} k(t)\,dt$ soit convergente, montrer que toute intégrale de l’équation $x' = f(t, x)$ est définie dans $I$ tout entier. b) Si en outre l’intégrale $\int_0^{+\infty} \|f(t, x_0)\|\,dt$ est convergente (pour un certain point $x_0 \in E$), montrer que toute intégrale de $x' = f(t, x)$ tend vers une limite finie lorsque $t$ tend vers $+\infty$ (montrer d’abord que toute intégrale est bornée lorsque $t$ tend vers $+\infty$).