Bài tập 6, § 1

a) Cho $I = [0, +\infty[$; nếu $f$ là Lipschitz trên $I \times E$ đối với một hàm điều chỉnh $k(t) > 0$ sao cho nguyên $\int_0^{+\infty} k(t) dt$ hội tụ, chứng minh rằng mọi nguyên của phương trình $x' = f(t, x)$ được xác định trên toàn bộ $I$.

b) Nếu thêm rằng nguyên $\int_0^{+\infty} \|f(t, x_0)\| dt$ hội tụ (đối với một điểm $x_0 \in E$ nào đó), chứng minh rằng mọi nguyên của $x' = f(t, x)$ tiến tới một giới hạn hữu hạn khi $t$ tiến tới $+\infty$ (trước hết chứng minh rằng mọi nguyên đều bị chặn khi $t$ tiến tới $+\infty$).