Exercice 9, § 1

Soient $I$ un intervalle dans $\mathbf{R}$, $t_0$ un point de $I$, $S$ une boule de rayon $r$ et de centre $x_0$ dans $E$, $G$ l’espace normé des applications bornées de $I \times S$ dans $E$, la norme d’une telle application $f$ étant la borne supérieure $\|f\|$ de $\|f(t, x)\|$ dans $I \times S$. Pour tout $M > 0$, soit $G_M$ la boule $\|f\| \leq M$ dans $G$. Soit $L$ la partie de $G$ formée des applications lipschitziennes de $I \times S$ dans $E$; pour toute fonction $f \in L \cap G_M$, soit $u = U(f)$ l’intégrale de $x' = f(t, x)$, telle que $u(t_0) = x_0$, à valeurs dans $S$ et définie dans l’intersection $J_M$ de $I$ et de l’intervalle $]t_0 - \frac{r}{M}, t_0 + \frac{r}{M}[$ (th. 1).

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions appartenant à $L \cap G_M$; si $f_n$ converge uniformément dans $I \times S$ vers une fonction $f$, toute valeur d’adhérence (pour la topologie de la convergence compacte) de la suite des $u_n = U(f_n)$ dans l’espace $F$ des applications bornées de $J_M$ dans $E$, est une intégrale de $x' = f(t, x)$ prenant la valeur $x_0$ au point $t_0$. Réciproquement, toute intégrale v de x' = f(t, x) définie dans J_M et telle que v(t_0) = x_0, est aussi intégrale d’une équation x' = g(t, x), où g est lipschitzienne et arbitrairement voisine de f dans G (considérer l’équation

b) On suppose en outre que E soit de dimension finie. Montrer que si f ∈ G_M satisfait aux conditions du lemme 1, pour tout t ∈ J_M, l’ensemble H(t) des valeurs au point t des intégrales de x' = f(t, x) qui prennent la valeur x_0 au point t_0, est un ensemble compact et connexe (pour voir que H(t) est fermé, utiliser le th. d’Ascoli; pour voir qu’il est connexe, utiliser a): si x_1, x_2 sont deux points de H(t), et ε > 0 un nombre arbitraire, montrer qu’il existe un ensemble connexe Φ de fonctions g appartenant à L ∩ G_M telles que \|f − g\| ≤ ε pour toute fonction g ∈ Φ, et que l’ensemble des valeurs des fonctions U(g) au point t soit connexe et contienne x_1 et x_2. Conclure en passant à la limite suivant un ultrafiltre plus fin que le filtre des voisinages de 0 dans R_+).