Bài tập 9, § 1

Cho I là một khoảng trong $\mathbf{R}$, và $t_0$ là một điểm của I, cho S là một quả cầu bán kính r và tâm $x_0$ trong E, cho G là không gian định chuẩn của các ánh xạ bị chặn từ $I \times S$ vào E, chuẩn của một ánh xạ như vậy $f$ là cận trên $\|f\|$ của $\|f(t, x)\|$ trên $I \times S$. Với mọi $M > 0$ cho $G_M$ là quả cầu $\|f\| \leq M$ trong G. Cho L là tập con của G tạo thành bởi các ánh xạ Lipschitz từ $I \times S$ vào E; với mọi hàm $f \in L \cap G_M$ cho $u = U(f)$ là nguyên của $x' = f(t, x)$ sao cho $u(t_0) = x_0$, có các giá trị trong S, và được xác định trên giao $J_M$ của I và khoảng $\left[ t_0 - \frac{r}{M}, t_0 + \frac{r}{M} \right]$ (định lý 1).

a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm thuộc $L \cap G_M$; nếu $f_n$ hội tụ đều trên $I \times S$ đến một hàm $f$, thì mọi điểm tụ (đối với tôpô hội tụ compact) của dãy $u_n = U(f_n)$ trong không gian F các ánh xạ bị chặn từ $J_M$ vào E, là một nguyên của $x' = f(t, x)$ nhận giá trị $x_0$ tại điểm $t_0$. Ngược lại, mọi nguyên v của $x' = f(t, x)$ được xác định trên $J_M$ và sao cho $v(t_0) = x_0$, cũng là một nguyên của một phương trình $x' = g(t, x)$, trong đó g là Lipschitz và tùy ý gần với $f$ trong G (xét phương trình

b) Giả sử thêm rằng E có hữu hạn chiều. Chứng minh rằng nếu $f \in G_M$ thỏa mãn các giả thiết của bổ đề 1, thì với mọi $t \in J_M$ tập hợp $H(t)$ các giá trị tại điểm t của các nguyên của $x' = f(t, x)$ nhận giá trị $x_0$ tại điểm $t_0$ là một tập hợp compact và liên thông (để thấy rằng $H(t)$ là đóng, dùng định lý Ascoli; để thấy rằng nó liên thông, dùng a): nếu $x_1, x_2$ là hai điểm của $H(t)$ và $\varepsilon > 0$ là tùy ý, hãy chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên thông $\Phi$ các hàm g thuộc $L \cap G_M$ sao cho $\|f - g\| \leq \varepsilon$ với mọi hàm $g \in \Phi$, và rằng tập hợp các giá trị của các hàm $U(g)$ tại điểm t là liên thông và chứa $x_1$ và $x_2$. Kết luận bằng cách chuyển qua giới hạn dọc theo một siêu lọc mịn hơn lọc các lân cận của 0 trong $\mathbf{R}$.