Exercice 10, § 2

Soit $t \mapsto X(t)$ une application d’une intervalle $J \subset \mathbf{R}$ dans l’espace des matrices complexes d’ordre $n$. On suppose que la dérivée $t \mapsto X'(t)$ existe et est continue dans $J$, et est telle que $X(t)X'(t) = X'(t)X(t)$ pour tout $t \in J$. a) On suppose en outre que, pour tout $t \in J$, les valeurs propres de $X(t)$ sont distinctes. Montrer qu’il existe alors une matrice inversible constante $P_0$ tel que $P_0X(t)P_0^{-1} = D(t)$, où $D(t)$ est une matrice diagonale, de sorte que $X(t_1)$ et $X(t_2)$ sont permutables pour tout couple de valeurs $t_1, t_2$ de $t$ dans J. (Écrire $X(t) = P(t)\ D(t)\ P(t)^{-1}$ au voisinage de chaque point de J et former l’équation différentielle satisfaite par $P(t)$.) b) La matrice

est permutable à sa dérivée, mais la conclusion de a) n’est pas valable.*