Bài tập 10, § 2

Cho $t \mapsto X(t)$ là một ánh xạ từ một khoảng $J \subset \mathbf{R}$ vào không gian các ma trận phức cấp $n$. Giả sử rằng đạo hàm $t \mapsto X'(t)$ tồn tại và liên tục trên $J$, và thỏa mãn $X(t)X'(t) = X'(t)X(t)$ với mọi $t \in J$.

a) Giả sử thêm rằng với mỗi $t \in J$ các trị riêng của $X(t)$ là phân biệt. Hãy chứng minh rằng khi đó tồn tại một ma trận khả nghịch hằng $P_0$ sao cho $P_0 X(t) P_0^{-1} = D(t)$, trong đó $D(t)$ là một ma trận đường chéo, sao cho $X(t_1)$ và $X(t_2)$ giao hoán với mọi cặp giá trị $t_1, t_2$ của $t$ trong $J$. (Viết $X(t) = P(t)D(t)P(t)^{-1}$ trên một lân cận của mỗi điểm của $J$ và lập phương trình vi phân thỏa mãn bởi $P(t)$.)

b) Ma trận

giao hoán với đạo hàm của nó, nhưng kết luận của a) không đúng.*