Exercice 2, § 2

Soit $t \mapsto A(t)$ une application réglée de $J$ dans $\mathscr{L}(E)$ telle que, pour deux points quelconques $s, t$ de $J$, $A(s)$ et $A(t)$ soient permutables. On pose $B(t) = \int_{t_0}^t A(s) \, ds$. Montrer que la résolvante $C(t, t_0)$ de l’équation $dx/dt = A(t).x$ est égale à $\exp(B(t))$.

Si $t \mapsto A_1(t)$, $t \mapsto A_2(t)$ sont deux applications réglées de $J$ dans $\mathscr{L}(E)$ telles que, pour deux points quelconques $s, t$ de $J$, $A_1(s), A_1(t), A_2(s), A_2(t)$ soient deux à deux permutables, montrer que l’on a