Bài tập 2, § 2

Cho $t \mapsto A(t)$ là một ánh xạ điều chỉnh từ J vào $\mathscr{L}(E)$ sao cho, với mọi hai điểm s, t của J, $A(s)$ và $A(t)$ giao hoán. Đặt $B(t) = \int_{t_0}^t A(s)\,ds$. Chứng minh rằng toán tử giải $C(t, t_0)$ của phương trình $d\mathbf{x}/dt = A(t).\mathbf{x}$ bằng $\exp(B(t))$.

Nếu $t \mapsto A_1(t), t \mapsto A_2(t)$ là hai hàm điều chỉnh từ J vào $\mathscr{L}(E)$ sao cho, với mọi hai điểm s, t của J, $A_1(s), A_1(t), A_2(s), A_2(t)$ giao hoán từng đôi một, chứng minh rằng