Exercice 6, § 2

Fonctions d’une variable réelle, IV, p. 42

Soit $f(X)$ un polynôme de degré $n$ à coefficients complexes, et soit

\frac{1}{f(X)} = \sum_{j=1}^q \sum_{h=1}^{n_j} \frac{\lambda_{jh}}{(X - r_j)^h}

la décomposition de la fraction rationnelle

1/f(X)

en éléments simples (A, VII, § 2, no 2). Montrer que, pour toute fonction réglée

b

, la fonction

t \mapsto \sum_{j=1}^q \sum_{h=1}^{n_j} \lambda_{jh} \int_{t_0}^t \frac{(t-s)^{h-1}}{(h-1)!} e^{sA(t-s)} b(s) \, ds

est une intégrale de l’équation

f(D)\ x = b(t)

Solution

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