Exercice 8, § 2

Soit $G$ une algèbre normée complète sur le corps $\mathbf{R}$, admettant un élément unité $e$. a) Soit $t \mapsto a(t)$ une fonction réglée dans un intervalle $J \subset \mathbf{R}$, à valeurs dans $G$. Montrer que l’intégrale $u$ de l’équation linéaire $dx/dt = a(t)x$ qui prend la valeur $e$ en un point $t_0 \in J$ est inversible dans $J$, et que son inverse est solution de l’équation $dx/dt = -xa(t)$ (si $v$ est l’intégrale de cette dernière équation qui prend la valeur $e$ au point $t_0$, considérer les équations linéaires vérifiées par $uv$ et $vu$). En déduire que, pour tout $x_0 \in G$, l’intégrale de $dx/dt = a(t)x$ qui prend la valeur $x_0$ au point $t_0$ est égale à $u(t)x_0$. b) Soient $a(t), b(t)$ deux fonctions réglées dans $J$, $u$ et $v$ les intégrales des équations $dx/dt = a(t)x, dx/dt = xb(t)$, qui prennent la valeur $e$ au point $t_0$. Montrer que l’intégrale de l’équation $dx/dt = a(t)x + xb(t)$ qui prend la valeur $x_0$ au point $t_0$ est égale à $u(t)x_0v(t)$. c) Soient $a(t), b(t), c(t), d(t)$ quatre fonctions réglées dans $J$, $(u, v)$ une solution du système de deux équations linéaires

Montrer que si, dans J, v est inversible, w = uv^{-1} est intégrale de l’équation $dx/dt = b(t) + a(t)z - zd(t) - zc(t)z$ (équation de Riccati); réciproque. En déduire que toute intégrale de cette dernière équation dans J, prenant la valeur x_0 au point t_0, est de la forme $(A(t)x_0 + B(t)e)(C(t)x_0 + D(t)e)^{-1}$, où A(t), B(t), C(t) et D(t) sont des applications continues de J dans $L(G)$ vérifiant l’identité $U.(xy) = (U.x)y$.

d) Soit w_1 une intégrale de $dx/dt = b(t) + a(t)z - zd(t) - zc(t)z$ dans J; montrer que, si w est une autre intégrale de cette équation telle que $w - w_1$ soit inversible dans J, $w - w_1$ s’exprime à l’aide des intégrales des équations $dx/dt = -(d + cw_1)x$ et $dx/dt = x(a - w_1c)$ (considérer l’équation à laquelle satisfait $(w - w_1)^{-1}$, et utiliser b)).